§12.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差.pptxVIP

高考数学新高考专用§12.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点清单考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;若按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn　(3)离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(i)pi≥0,i=1,2,…,n;(ii)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(iii)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i<j且i,j∈N*).温馨提示???分布列的性质(ii)的作用:可以用来检查所写出的分布列是否有误,还可以求分布列中的某些参数.2.两点分布若随机变量X的分布列为X01P1-pp　则称X服从两点分布.3.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=?(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列X01…mP??…?为超几何分布列.4.求离散型随机变量的均值与方差(1)均值与方差的定义若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn　(i)均值称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(ii)方差称D(X)=?[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根?为随机变量X的标准差.注:D(X)=E(X2)-[E(X)]2,由X的分布列唯一确定.(2)均值与方差的性质E(aX+b)=①?aE(X)+b??;D(aX+b)=②?a2D(X)???.(a,b为实数)(3)两点分布的均值、方差若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).题型方法离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法1.求离散型随机变量的分布列、期望与方差,应按下述步骤进行:(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率;(3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证;(4)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意计数原理、排列组合及常见概率模型.2.离散型随机变量分布列的均值、方差问题的解决策略(1)把握“1”实质随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.(2)运用“2”策略①当均值不同时,两个随机变量取值的水平有区分,可对问题作出判断.②若两随机变量的均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进行决策.例　某机构组织的家庭教育活动中有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA-yA)2+(xB-yB)2+(xC-yC)2+(xD-yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.①求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;②求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.解题思路(1)①欲求“他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同”的概率,需计算家长的排序有多少种等可能结果和其中满足“家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同”的情况的种数.欲计算家长的排序有多少种等可能结果,只需通过排列数进行计算即可.其中满足“家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同”的情况的种数,需通过列举法进行列举,进而得出结果.②欲求X的分布列,需要判断X的所有可能取值以及取每一个值的概率,根据①的分析,只考虑小孩排序为1234的情况,由此能求出X的