§10.4　直线与圆锥曲线的位置关系.pptx

高考数学新高考专用§10.4　直线与圆锥曲线的位置关系考点清单考点　直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线r的方程F(x,y)=0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程,即?消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,则Δ>0时,直线l与曲线r相交;Δ=0时,直线l与曲线r①　相切???;Δ<0时,直线l与曲线r相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则l与r相交,且只有一个交点,此时,若r为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若r为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线中的弦长公式(1)当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.(2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|=?=②??|x1-x2|?=??或|AB|=③???|y1-y2|???=??(k≠0).　(3)当直线过抛物线的焦点时,可利用抛物线的焦点弦长公式求解弦长.3.圆锥曲线中的中点弦的有关结论设AB为圆锥曲线的弦,点M为弦AB的中点,O为坐标原点:标准方程结论?+?=1(a>b>0)kAB·kOM=-??+?=1(a>b>0)kAB·kOM=-?续表标准方程结论?-?=1(a>0,b>0)kAB·kOM=??-?=1(a>0,b>0)kAB·kOM=?y2=2px(p≠0)kAB=?(y0为中点M的纵坐标)x2=2py(p≠0)kAB=?(x0为中点M的横坐标)题型方法2.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题,主要有以下几种情形:相交弦的长?弦长公式|AB|=?|x2-x1|或|AB|=?|y1-y2|(k≠0)?;弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等,可以利用“设点代点、设而不求”(设交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,不是求出具体坐标,而是利用坐标应满足的关系直接解决问题)的方法解决.一、有关位置关系、弦长、面积问题的解题策略1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数的问题,往往通过消元最终归结为讨论方程解的情况,需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线或直线平行或重合于抛物线的对称轴时,直线与双曲线或抛物线有且只有一个交点.例1??(2019课标Ⅲ理,21,12分)已知曲线C:y=?,D为直线y=-?上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E?为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.解析　(1)证明:设D?,A(x1,y1),则?=2y1.由于y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故?=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点?.(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+?.由?可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=?|x1-x2|=?×?=2(t2+1).解题关键?(1)设出A、B坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出直线AB的方程,用坐标表示出?⊥?,求直线AB方程中的参数是关键.设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=?,d2=?.因此,四边形ADBE的面积S=?|AB|(d1+d2)=(t2+3)?.设M为线段AB的中点,则M?.由于?⊥?,而?=(t,t2-2),?与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4?.因此,四边形ADBE的面积为3或4?.1-1?(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点?,焦点F1(-?,0),F2(?,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为?,求直线l的方程.? 解析　解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-?,0),F2(?,0),所以可设椭圆C的方程为?+?=1(a>b>0).又点?在椭圆C上,所以?解得?因此,椭圆C的方程为?+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则?+?=3.所以直线l的方程为y=-?(x-x