§8.4　空间角与距离、空间向量及其应用.pptx

高考数学新高考专用§8.4　空间角与距离、空间向量及其应用考点清单考点1　空间角与距离1.空间角(1)异面直线所成角的范围是①????;线面角的范围是②????;二面角的范围是③　[0,π].?(2)求解异面直线所成角有两种方法:平移法、向量法,应用时应注意异面直线所成角的范围.(3)用向量法求解斜线与平面所成角的问题,关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的一个法向量b,再通过计算线面角的向量公式sin θ=|cos<a,b>|=?(θ是斜线与平面所成的角)求解,要特别注意a和b的夹角与线面角的关系.(4)利用向量法求二面角的大小时,应注意二面角的大小与两法向量夹角大小的关系,它们之间可能相等,也可能互补,故应在分清关系的情况下求解,避免出现错误.(5)计算二面角的关键是作出二面角的平面角,方法较为灵活,可以通过“割”或“补”找二面角的平面角.对于无棱二面角,可以先找出棱或借助于向量法求解,也可以利用射影面积公式cos θ=?求解.2.空间距离求空间距离常用的方法:(1)直接法(找所求距离对应的垂线段):利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理和判定定理,作出空间距离对应的垂线段,再通过解三角形求出距离.其中,找垂足是作垂线段的关键,一般借助面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理作出面的垂线,因此要充分挖掘条件中的垂直关系.(2)间接法:在求解线面距离、面面距离的问题时,都可以转化为点面距离求解.在求解点面距离时,可以转化为点线距离,也可以利用等体积转化法或等比例转化法进行求解;在求解点线距离时,可以利用勾股定理求解,也可以构造三角形采用等面积转化法求解.知识拓展?1.与线面角有关的问题(1)求斜线与平面所成的角的关键是:找到斜线在平面内的射影,斜线与其射影所成的锐角即为斜线与平面所成的角.(2)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.(3)三余弦公式:cos θ=cos θ1·cos θ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成的角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面内的直线AC的夹角).?(4)点C是∠APB所在平面外的一点,若∠CPA=∠CPB≠90°,则斜线CP在平面APB内的射影落在∠APB的平分线上.2.与二面角有关的问题(1)二面角与二面角的平面角的区别和联系:二面角是一个立体图形,二面角的平面角是一个平面图形,我们常用二面角的平面角来刻画二面角的大小.(2)利用几何法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点在棱上,角的两边分别在两个半平面内,这两边都与棱垂直,只有满足这三个条件,才能称该角为二面角的平面角,否则就不是二面角的平面角.考点2　空间向量及其应用1.与空间向量运算有关的结论设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),b≠0.(1)a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);(2)a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0;(3)|a|=?=?;(4)cos<a,b>=?=?.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)?④??v1∥v2?.(2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量分别为v1和v2,则l∥α或l?α?存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.(3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l?α?⑤??v⊥u??.(4)设平面α,β的法向量分别为u1,u2,则α∥β?⑥?u1∥u2??.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2?v1⊥v2?⑦??v1·v2=0.(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α?⑧?v∥u??.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2=0.4.用空间向量解决空间角(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角θ满足cos θ=⑨　|cos<m1,m2>|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m和n,则直线l与平面α所成角θ满足sin θ=⑩　|cos<m,n>|?.(3)求二面角的大小如图a,AB、CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<?,?>.?如图b、c,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos<n1,n2>或-cos<n1,n2>.知识拓展　(1)点面距离:已知平面α外一点B(x0,y0,z0),平面α内一点A(x1,y1,z1),平面α的一个法向量n