高考数学复习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docxVIP

高考数学 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理 【知识】 完成一件事有 n 类不同的方案， 在第一类方案中有 m1 种不同的方法， 在第二类方案中有 m2 种不同的方法， ， 在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法， 则完成这件事情， 共有 N ＝ m1＋ m2＋ ＋ mn 种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤， 完成第一步有 m1 种不同的方法， 完成第二步有m2 种不同的方法， ，完成第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1× m2 × × mn 种不同的方法． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． [难点正本 疑点清源 ] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类 的标准是 “不重不漏，一步完成 ”． 而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各 个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法 “ 相互独立，多步完成 ”． 题型一 分类加法计数原理的应用 【题型】 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准， 然后在这个标准下进行分类； 其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类， 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 例 1 高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，男生 30 人， 女生 30 人；高三三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人． 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ 从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 思维启迪： 用分类加法计数原理． 解 (1)完成这件事有三类方法 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法， 根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有 50＋ 60＋ 55＝ 165 种选法． (2) 完成这件事有三类方法 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法． 综上知，共有 30＋ 30＋ 20＝80 种选法． 例 2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有 30 张英语单词卡片，右边口袋 装有 20 张英语单词卡片， 这些英语单词卡片都互不相同， 问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？ [解析 ] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类： 第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有 30 种不同的取法； 第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有 20 种不同的取法． 根据分类加法计数原理， 所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为 30＋ 20＝ 50(种). 例 3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ [分析 ] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类． [解析 ] 解法一：按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分为 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， 1 个． 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有 8＋ 7＋6＋ 5＋ 4＋3＋ 2＋ 1＝36(个)． 解法二：按个位数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别是 1 个， 2 个， 3 个， 4 个， 5 个， 6 个， 7 个， 8 个，所以按分类加法计数原理共有 1＋ 2＋3＋ 4＋ 5＋ 6 ＋ 7＋ 8＝ 36(个)． x2 y2 例 4 方程 m＋ n ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中 m∈ {1,2,3,4,5} ，n∈ {1,2,3,4,5,6,7} ，那 么这样的椭圆有多少个？ 解 以 m 的值为标准分类，分为五类． 第一类： m＝ 1 时，使 n>m， n 有 6 种选择； 第二类：