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高 考 数 学 公式法求数列通项
公式法及三步法：
Sn
an
Sn Sn
( n
1 (n
两种用途（列举） ，结果要验证能否写成统一的式子．
2)
例、数列
an 的各项都为正数，且满足 Sn
2
an 1
4
n N* ，求数列的通项公式．
解一：由 Sn
2
an 1
4
n N*
得 4an 1
4 Sn 1 Sn
2
an 1 1
2
an 1
化简得
an 1 an
an 1 an
2 0 ，
因 为 an
0, an 1 an 2 ，
又 4S1
4a1
a1 1
2
得 a1 1 ，
故{ an } 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，
所 以 an
2n 1 ．
解二：由 Sn
2
an 1
4
n N* ，
可得 2 Sn
an 1, 2 Sn
Sn Sn 1 1 n 2
化简可得
2
Sn 1
Sn 1 ，
即 Sn Sn
又 S1 1 ，
1 1 ，
所以数列 {
Sn } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
2
n∴ Sn n ，从而 S n ，
n
所 以 an
Sn Sn
1 2n 1，
又 a1 1 也适合，故 an 2 n 1 ．
练习：已知数列 {a n} 的 前 n 项 和 S n 满 足 a
2S S
0 （ n
2 ），a1= 1 ，求 a ．
答案： a n=
1 (n 1)
2
1 ．
(n 2)
2n( n 1)
n n n 1 2 n
扩展一：作差法
n例 1、在数列 { a
n
} 中 ， a
1 ， a 2a
3a L
nan
(n 1)2
n ，求
an ．
11 2 31 2 3n解：由
1
1 2 3
1 2 3
n
3a L na
(n 1)2 n ，
n1 2 3得 a
n
1 2 3
3a L
( n 1)a
(n 2) 2
n 1，
1两式相减，得
1
nan
6n 6 ，∴ an
1 (n=1)
6 6n ．
(n 2)
n
练习（理）：已知数列 { an} 满 足 a1
1， an
a1 2a2
3a3 L
(n 1)a n
1(n
，求
an ．
解：由 an
a1 2 a2
3a3 L
(n 1)an
1 (n
2) ，
得 an 1
a1 2a2
3a3 L
(n 1)an 1
nan ，
两式相减，得
an 1 an
nan ，
an 1
即
an
n 1(n
2) ，
所 以 a
an an 1 L a3 a
[ n(n
1) L
n!
4 3]a a ，
n a a a
2 2 2 2
n 1 n 2 2
又由已知，得 a2
a1 2a2 ， 则 a2
a1 1 ，代入上式，
得 an
n!
1 3 4 5 L n ，
2
所以， { an } 的通项公式为 an
1 (n 1)
n! ( n 2) ．
2
扩展二、作商法
例 1、在数列 { a
} 中， a 1 ，对所有的 n 2 ， 都 有 a ? a ? a ?L ? a n2 ， 求 a ．
22n 1 1 2 3 n n
2
2
1 2 3 n
1 2 3 n
a ? a
? a ?L
? a n ，∴ a ? a
? a ?L ? a
(n 1) ，
故 当 n
2 时，两式相除，得 an
2
1 2 3n2n
1 2 3
n
2
( n 1)2
1 (n=1)
∴ a 2 ．
n n ( n 2)
(n 1)2
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