高考数学-统计案例-1-回归分析的基本思想及其初步应用.docxVIP

PAGE PAGE 12 / 12 专项-统计案例 知识点 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 回归分析 ：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析， 即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性． 线性回归方程 ：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近， 就称这两个变量之间具有线性相关关系， 这条直线叫做回归直线，其方程称为线性回归方程 . 记回归直线方程为： y bx a ，称为变量 Y 对变量 x 的回归直线方程，其中 a ，b 叫做回归系数．未知参数 b 和 a 的最小二乘法估计分别为 b?和 a? ，给定一组数据 x1, y1 , x2 , y2 ,. xn , yn ，则 a? 与 b?的计算公式 为： b? n xi x i 1 n x  yi y 2 x n xi yi i 1 n 2 x  nxy 2  ， a?  y b?x ，其中 x  1 n n i 1  xi , y  1 n yi n i 1  ，从而 bx a 的 估计表示为 i i 1 y? b?x  a? . i nx i 1 相关关系的强弱： 相关系数 ： 给定一组数据  x1, y1 ,  x2 , y2  , xn , yn  ，则变量间线性相关系数 r 的计算公式为： n xi r i 1 n  x yi y 2 n 2 n xi yi i 1 x2n 2 x 2  nx y y2n 2 y 2 xi x i 1 yi y i 1 ( i nx )( i i 1 i 1 n y ) 相关系数和相关程度： r 两个变量的变化趋势 线性相关关系 0 r 1 同增或者同减 正相关 b? 0 1 r 0 一个变量增，另一个变量减 负相关 b? 0 r 0 无规律 不相关 当 r 0.75时，通常认为两个变量有较强的线性关系 . 随机误差线性回归模型  y＝ bx＋ a＋ e， E e ＝ 0，D e ＝ σ2 ，其中 a， b 为模型的未知参数，通常 e 为随机变量，称为随机误 差． x 称为解释变量， y 称为预报变量． 残差分析 (1)残差：对于样本点 (x1 ，y1 )， (x2， y2)， ， (xn， yn) ，它们的随机误差为 ei ＝ yi－ bxi－ a， i＝ 1,2， ， ^ ^ ^ ^ ^ n 2 n，其估计值为 ei＝yi－ yi＝ yi－ bxi－ a，i＝ 1,2， ，n，ei 称为相应于点 (xi，yi)的残差． 残差平方和 yi y? i 1 越小，模型拟合效果越好 （ 2）残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标为样本编号，或 xi 的数据，或 yi 的数据，这样做出的图形 称为残差图 相关指数： R2＝1－ n ∑ i＝1 n ^ 2 yi－ yi  .，相关指数的值越大，模型的拟合效果越好 . －∑ yi y 2 i ＝1 － 注 建立回归模型的基本步骤 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量． 画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等 )． 由经验确定回归方程的类型 (如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程 ) ． 按一定规则 (如最小二乘法 )估计回归方程中的参数． 得出结果后分析残差图是否有异常 (如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等 ) ．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 题型一 求线性回归方程 【例 1】某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表数据： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 请画出上表数据的散点图；  ^ ^ ^ 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y＝ bx＋ a； 试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为 9 的同学的判断力． n xi yi－ n x ·y ^ i＝ 1 ^ ^ 相关公式： b＝  n ix2－ n x 2 i ， a＝ y －b x i＝ 1 【过关练习】 1. 假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计数据： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由此资料可知 y 对 x 呈线性相关关系． 求线性回归方程； 求使用年限为 10 年时，该设备的维修费用为多少？ 题型二 线性回归分析 【例 1】在一段时间内，某种商品的价格 x 元和需求量 y 件之间的一组数据为： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求出 y 对 x 的线性回归方程，并说明拟合效果的程度． 【过关练习】 1. 关于 x 与 y 有如