新高考数学二轮复习解析几何（解答题10种考法）讲义（解析版）.docxVIP

专题05解析几何（解答题10种考

考法一定点

【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点为.

【解析】（1）设到渐近线，即的距离为，

则，结合得，

又在双曲线上，所以，得，

所以双曲线的标准方程为.

（2）联立，消去并整理得，

则，，即，

设，，

则，，

则

，

所以，

所以，

所以，

整理得，

所以，

所以，

因为直线不过，即，，

所以，即，

所以直线，即过定点.

????

【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【解析】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，

联立方程，消去y得：，

则，解得，

可得，

因为，则直线，

令，解得，即,

同理可得，

则

，

所以线段的中点是定点.

??

【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】（1）由题意，可设直线的方程为，

将代入，消去得，

设，，则，，

是线段的中点，

，，

即，又轴，

垂足的坐标为，

则，，

，

对任意的恒成立，

，又，解得，

故抛物线的方程为.

（2）??

设，，，由（1）可知，

，，

则，直线的方程为，

令，则，

，同理，

由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上，

设该点坐标为，

则，，且，

，

，

或，

以为直径的圆过定点和.

【变式】

1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

（2），所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，过点.

②若过点的直线斜率存在，设.

联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得

显然成立，综上，可得直线HN过定点

2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.

(1)求的方程；

(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】（1）由已知得，，.

则，，，所以.

因为，又，所以，.

故的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，即.

因为直线与圆相切，所以，即.

设，，则，.

由化简，得，

由韦达定理，得

所以，

所以，

故，即以为直径的圆过原点.

当直线的斜率不存在时，的方程为或.

这时，或，.

显然，以为直径的圆也过原点.综上，以为直径的圆恒过原点.

3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．

【答案】(1)或

(2)证明见解析

【解析】（1）设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为．

当圆在椭圆的外部时，，

椭圆的方程为．

（2）证明：设．

因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为．

则由已知可得，切线的方程为的方程为，

将代入的方程整理可得，

．

显然的坐标都满足方程，

故直线的方程为，

令，可得，即直线过定点．

考法二定值

【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】（1）∵，

∴，

由离心率为得，从而，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）??

设，，则，

可设直线PA的方程为，其中，

联立，化简得，

则，同理可得，．

因为，．

所以

，

所以是定值.

【变式】

1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆的中