新高考数学二轮复习导数（解答题10种考法）讲义（解析版）.docxVIP

专题06导数（解答题10种考法）

考法一含参单调性的分类讨论

【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)求在上的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【解析】（1）函数的定义域为，

则．

当时，在上恒成立，

故此时在上单调递减；

当时，由，得,由，得，

故此时在上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，

所以在上单调递减，所以；

当时，

(i)若，即时，在上单调递增，

此时，；

(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时，；

(iii)若，即时，在上单调递减，

此时，．

综上所述，．

【变式】

1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【解析】（1）由已知，则，

当时，，，

则曲线在处的切线方程为，即

（2）由（1）知，，

①当时，，

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减；

②当时，由，得，

（ⅰ）当时，，

当时，，在，单调递增；

当时，，在单调递减；

（ⅱ）当时，，，在单调递增；

（ⅲ）当时，，

当时，，在，单调递增；

当时，，在单调递减；

综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；

②当时，在，单调递增，在单调递减；

③当时，在单调递增；

④当时，在，单调递增，在单调递减.

2．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数其中．

(1)若，求函数的单调区间和极值;

(2)当时，讨论函数的单调区间．

【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为；极小值

答案见解析

【解析】（1）函数的定义域为．

则，

令，可得，

当变化时，和的变化情况如下：

单调递减

单调递减

单调递增

故函数的单调减区间为;单调增区间为．

当时，函数有极小值.

（2）因为，所以，

所以函数的定义域为，

求导可得

令，可得，

当时，，

因为(当且仅当时，)

所以函数在单调递增．

当时，，

当变化时，和的变化情况如下：

单调递增

单调递减

单调递增

故函数的单调减区间为单调增区间为

当时，，

当变化时，和的变化情况如下：

单调递增

单调递减

单调递增

故函数的单调减区间为单调增区间为，

综上，当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为单调增区间为；当时，函数的单调减区间为单调增区间为，

3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数.

(1)当时，求函数的最小值；

(2)当时，讨论的单调性.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【解析】（1）当时：，令解得，

又因为当，，此时函数单调递减；

当，，此时函数单调递增.

所以的最小值为.

（2），

当时，由，得或.

①若，则，故在上单调递增；

②若，则.故当时，或；

当时，.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

③若，则.故当时，或；

当时，.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

考法二讨论零点个数

【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数

(1)当时，求函数的极值点；

(2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．

【答案】(1)有且仅有一个极小值点

(2)零点个数为2，理由见解析

【解析】（1）当a=0时，，故，

令，故，

与在区间上的情况如下：

0

+

极小值

所以在区间上单调递减，在区间单调递增，

所以函数有且仅有一个极小值点．

（2）函数的零点个数为2，理由如下：

（1）当时，．

由于，

所以，

故函数在区间上单调递减，

，

所以函数在区间上有且仅有一个零点；

（2）当时，，

故，

令，得，

，故，

因此恒有，所以函数在区间上单调递增；

又，

所以函数在区间上有且仅有一个零点．

综上，函数的零点个数为2．

【变式】

1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数，，其中，曲线在处的切线方程为

(1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围；

(2)讨论关于的方程根的个数．

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【解析】（1），则，

则,又因为，解得，，

所以；

由题意得，对一切恒成立，

分离参数得，对一切恒成立，

令，则，

令，则，，

所以函数过点，且在上单调递减，

当时，；当时，．

又易知与同号，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则，所以，

故的取值范围为；

（2）由题意，原方程等价于分离参数后的方程，

令，由（1）知，

在上单调递增，在上单调递减，

又当时，；当时，，

所以的大致图象如图.观察图象可知：

??

当时，方程根的个数为；

当时，