新高考数学二轮复习空间几何与空间向量（解答题10种考法）讲义（解析版）.docxVIP

专题03空间几何（解答题10种考法）

考法一平行

【例1-1】（2023春·河北邯郸）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.

??

(1)证明：平面ABED.

(2)证明：平面平面BCFE.

【答案】证明见解析

【解析】（1）证明：如图，连接BG.

∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴.

∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.

??

（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴.

∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.

∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴.

∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.

又，∴平面平面BCFE

【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

??

(1)求证：平面平面；

(2)求证：．

【答案】证明见解析

【解析】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，

所以，，

又平面，平面，

则平面，

同理平面，平面，

可得平面，

又，平面，

所以平面平面.

（2）因为，平面，平面，

所以平面，

又平面，平面平面，

所以.

【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：平面ABC

【答案】证明见解析

【解析】延长EG交AB于N，连接NC,

因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且,

因为,故,所以,故，故,

而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；

【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，，证明：

??

【答案】证明见解析；

【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

??

则，

，

，

又不在同一条直线上，

.

【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．证明：平面.

??

【答案】证明见解析

【解析】在平面内，过点作于点，连接，，

??

∵，则，

又∵平面，平面，∴平面．

又∵平面，平面，平面，

∴，，

又∵，为公共边，∴，

∴，又∵为公共边，∴，

∴，为的中点，

又∵为的中点，∴为的中位线，，

又∵平面，平面，∴平面．

又∵，平面，平面，

∴平面平面，

又∵平面，∴平面．

【变式】

1．（2023春·浙江金华）在正方体中，分别是和的中点，求证

??

(1)

(2)平面．

(3)平面平面．

【答案】证明过程见解析

【解析】（1）连接，因为底面是正方形，且点是中点，

所以，即点也是中点，

又因为点是中点，所以由三角形中位线定理可得；

（2）由（1），因为平面，平面，所以平面；

（3）连接，因为分别是和的中点，所以由正方体的性质可知：，

所以四边形是平行四边形，所以有，而，

所以，因为平面，平面，

所以平面，而平面，所以平面平面.

??

2．（2023春·新疆省直辖县级单位）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE.

【答案】证明见详解

【解析】因为平面ACD，平面ACD，则∥，

取的中点，连接，

因为分别为的中点，则∥，且，

由题意可得：∥，且，

则∥，且，则为平行四边形，

可得∥，

且平面BCE，平面BCE，

所以∥平面BCE.

??

3．（2022春·浙江温州）已知三棱锥中，，，为中点，为中点，在上，，求证：平面

??

【答案】证明见解析

【解析】连接并延长，交于点，取的中点，连接，

因为为中点，所以，，所以，

所以，又为中点，所以，

所以，因为，所以，

所以，可得，

因为平面，平面，所以平面；

??

4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱中，，点在上，且，为中点，证明：平面

??

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，分别延长和交于点，设，

设，因为，可得，

由，可得，即，解得，

又因为为的中点，可得，所以，所以，

又由，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，

设，因为四边形为矩形，所以为的中点，

在中，由三角形的中位线定理，可得，

又因为平面，平面，所以平面.??

考法二垂直

【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱锥中，底面，，分别为，的中点，于．

??

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面．

【答案】证明见解析

【解析】（1）∵底面，底面，∴；

又，为的中点，

∴，

又∵平面，，

∴平面，平面，

∴，又，平面，，

∴平面；

（2）由平面知，；又分别为的中点，

∴是的中位线，∴，∴，即，

由平面可知，，，

为平面与平面的二面角，又，

∴平面平面．

【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面，求