通信原理II第7次课课件.doc

PAGE 6 10.5 BCH码 BCH码是1959年由霍昆格姆（Hocquenghem）、1960年由博斯（Bose）和查得胡里（Chandhari）分别独立提出的，这三人姓氏的开头字母B、C、H就是BCH码名称的来历。 BCH码是一类重要的循环码，具有纠正多个错误的能力。既然BCH码是循环码的子类，那么它一定符合循环码的构码规律。 例10.5.1 分析码长的二进制循环码的生成多项式结构。 解：本例题利用循环码生成多项式的特性来构造循环码。将因式分解，得 显然，含有1次到14次多项式因子，且其常数项皆不为0，即都满足生成多项式的3个条件，由它们可以构成码长为15的（15,14），（15,13），…，（15,1）循环码。例如，利用下列生成多项式能构造出（15,5）循环码。 可以看到，（15,5）循环码的生成多项式是几个既约因式合并成的一个次非既约因式。在这些生成多项式中，有的可以生成BCH码，有的只能产生一般循环码。 本节将运用多项式域的相关知识，简要介绍循环码的另一种构码方法，分析利用多项式在二元扩域上的根来构造循环码的原理，加深对BCH码生成多项式的理解。 10.5.1 多项式域 研究BCH码需要一定的近世代数知识，这里，仅简要介绍编码理论中最基本、最重要的二元扩域有关概念。 1. 预备知识 在讨论多项式域之前，先介绍几个术语。 (1) 二元伽逻华域 二元集合，在模2加、模2乘运算下构成一个域，称为二元伽逻华（Galois）域，记做。其中，加法“”和乘法“．”的运算规则如下： 从定义上看，域是一个集合两种运算，同时要求这两种运算满足结合律、交换律、分配律等运算规则和封闭性条件。 (2) 既约多项式 对于系数属于上的多项式，若除了常数C以及外，不能被该数域上的任何其他多项式整除，则称为该数域上的既约多项式。 (3) 本原多项式 若次多项式满足如下条件，则称为本原多项式。 ① 为既约的，即不可分解； ② 可整除,； ③ 除不尽,。 2. 多项式域的存在性 (1) 若是次既约多项式，则次数小于的多项式的全体，在模2加、模乘运算下构成一个多项式域，写做。 ① 多项式域的集合是次数小于的多项式的全体。域上的域元素是系数属于上的多项式， 称是域的扩域，称为扩域的基域。 ② 多项式“+”和多项式乘“．”运算规则为 对于域元素和，多项式“+”定义为： （10.5.1） 多项式乘“．”定义为： （10.5.2） 由式（10.5.2）不难看出，域元素是次数小于的多项式，是由既约多项式产生的。 ③ 域的阶是指域元素的个数，扩域有个元素，其中，为正整数。 (2) 若是次本原多项式，则以为模的乘运算所生成的多项式域里至少存在一个域元素（称为本原元），它的各次幂构成了域的全部（共个）非零域元素。 例10.5.2 次数小于的多项式在模2加、模乘运算下构成多项式域。 多项式域共有16个域元素：0，1，，，，，，，，，，，，，， 。 验证一下运算的封闭性。比如，域元素与域元素模乘，有 于是得，它是域上的另一个域元素。 由于又是本原的，故多项式域中的15个非零域元素可表示成。本原元是多项式域中的一个域元素，并且满足，即是本原多项式的根。 利用关系式，可将的各次幂化做的低于4次多项式（尽管本身就是多项式）。比如，，与幂次对应的多项式见表10.5.1。还可以将多项式的系数抽出后顺序排列成一个码组，这样一来，一个域元素共有三种表示形式：的各次幂、多项式和比特码组。 表10.5.1 本原多项式的根生成的域元素 各次幂 的多项式 多项式系数（比特码组） 1 (0001) (0010) (0100) (1000) (0011) (0110) (1100) (1011) (0101) (1010) (0111) (1110) (1111) (1101) (1001) 3. 多项式的根与最小多项式 (1) 域上所有非零元素，，，…，都是多项式的根。即以根为一次项完全分解： （10.5.3） (2) 多项式一定可以分解成若干最小多项式之积： （10.5.4） 综合式（10.5.3）、（10.5.4）可得下列关系式： （10.5.5） 例10.5.3 由本原多项式生成的多项式域上全部非零元素为，，，…，，按式（10.5.3）多项式可完全分解为一次项之积： ·· · 可以看到，根和所对应的最小多项式如下： 根 根 根 根