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广东省广州市荔湾区真光中学2023年高三下学期第三次月考(期中)数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有()
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
2.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为()
A. B. C. D.
3.已知集合,定义集合,则等于()
A. B.
C. D.
4.中,,为的中点,,,则()
A. B. C. D.2
5.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()
A. B. C. D.
7.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示,设为坐标原点,、、、四点的横坐标依次为、、、,则函数的单调递减区间是()
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为()
A.4 B.6 C.3 D.8
9.已知菱形的边长为2,,则()
A.4 B.6 C. D.
10.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为
A. B. C. D.
11.已知、是双曲线的左右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
12.将函数向左平移个单位,得到的图象,则满足()
A.图象关于点对称,在区间上为增函数
B.函数最大值为2,图象关于点对称
C.图象关于直线对称,在上的最小值为1
D.最小正周期为,在有两个根
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.
14.已知,,,且,则的最小值为___________.
15.已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为__________.
16.函数的最小正周期是_______________,单调递增区间是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
18.(12分)已知为各项均为整数的等差数列,为的前项和,若为和的等比中项,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求最大的正整数,使得.
19.(12分)设函数.
(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;
(2)若,证明:.
20.(12分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.
21.(12分)已知函数.
(1)当时,判断在上的单调性并加以证明;
(2)若,,求的取值范围.
22.(10分)已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,,切点分别,,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.
【详解】
,,,
当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;
,,
故,函数关于对称,故④正确;
根据图像知:①③不正确;
故选:.
【点睛
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