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广东省汕头市东厦中学2023届高三寒假网上测试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若关于的方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
2.设是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为坐标原点),且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
3.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()
A. B. C. D.
4.已知数列是公比为的等比数列,且,,成等差数列,则公比的值为(???)
A. B. C.或 D.或
5.集合,,则()
A. B. C. D.
6.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()
A. B. C. D.
7.已知向量满足,且与的夹角为,则()
A. B. C. D.
8.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
9.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
10.已知函数,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
11.已知,且,则在方向上的投影为()
A. B. C. D.
12.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.函数的单调增区间为__________.
14.在等差数列()中,若,,则的值是______.
15.已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为,则双曲线的焦距为______.
16.双曲线的离心率为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:)的数据如下:
一周课外读书时间/
合计
频数
4
6
10
12
14
24
46
34
频率
0.02
0.03
0.05
0.06
0.07
0.12
0.25
0.17
1
(1)根据表格中提供的数据,求,,的值并估算一周课外读书时间的中位数.
(2)如果读书时间按,,分组,用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.
①求每层应抽取的人数;
②若从,中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率.
18.(12分)已知函数.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)若,对,恒有成立,求实数的最小值.
19.(12分)已知矩阵的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
20.(12分)中的内角,,的对边分别是,,,若,.
(1)求;
(2)若,点为边上一点,且,求的面积.
21.(12分)已知函数,,若存在实数使成立,求实数的取值范围.
22.(10分)第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项,329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动,努力让大家更多的了解军运会的相关知识,并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况,在全市开展了网上问卷调查,民众参与度极高,现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者,他们得分(满分100分)数据,统计结果如下:
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表),求,的值(,的值四舍五入取整数),并计算;
(2)在(1)的条件下,为感谢大家参与这次活动,市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案:得分低于的可以获得1次抽奖机会,得分不低于的可获得2次抽奖机会,在一次抽奖中,抽中价值为15
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