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广东省普宁市第二中学2023届高三第四次调研诊断考试数学试题理试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数的大致图象是()
A. B.
C. D.
2.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为()
A. B. C. D.
3.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于()
A. B. C. D.
4.函数的一个零点在区间内,则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
5.已知菱形的边长为2,,则()
A.4 B.6 C. D.
6.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()
A.2 B.3 C.4 D.1
7.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
8.函数在上单调递减的充要条件是()
A. B. C. D.
9.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成的角的正弦值为().
A. B. C. D.
10.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()
A. B.
C. D.
11.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()
A. B. C. D.
12.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()
A. B.0 C.1 D.3
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列的各项均为正数,满足,.,若是等比数列,数列的通项公式_______.
14.平面向量与的夹角为,,,则__________.
15.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.
16.实数满足,则的最大值为_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在四棱锥的底面是菱形,底面,,分别是的中点,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点,使与所成角的余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.
18.(12分)中,内角的对边分别为,.
(1)求的大小;
(2)若,且为的重心,且,求的面积.
19.(12分)在数列中,已知,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:.
20.(12分)已知a>0,证明:1.
21.(12分)在平面直角坐标系中,已知向量,,其中.
(1)求的值;
(2)若,且,求的值.
22.(10分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
用排除B,C;用排除;可得正确答案.
【详解】
解:当时,,,
所以,故可排除B,C;
当时,,故可排除D.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数图象,属基础题.
2、C
【解析】
判断出已知条件中双曲线的渐近线方程,求得四个选项中双曲线的渐近线方程,由此确定选项.
【详解】
两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况.依题意,双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°,双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为,B选项渐近线为,C选项渐近线为,D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.
3、D
【解析】
这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.
【详解】
解:事件发生,需满足,即
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