正余弦定理复习教案.docx

正弦、余弦定理 一.教学内容： 正弦、余弦定理 .教学重、难点： 重点： 正弦、余弦定理。 难点： 运用正、余弦定理解决相关斜三角形问题。 考点集结 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理正弦定理 内容abc 2R sinAsinBsinC 变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; 形式 a,sinB= b,sinC= c; ②sinA= 2R 2R 2R a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④ a b c a sinA sinB sinC sinA 解决 ① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 的问 ② 已知两边和其中一边的对角， 求另一边和其他 题 两角。  余弦定理 a 2 b 2 c 2 g 2bccosA, b2 c2 a2 2accosB, c2 a2 b 2 2abcosC. cosA b2 c2 a2 ; 2bc cosB a2 c2 b2 ; 2ca cosC a2 b2 c2 . 2ab ①已知三边，求各角； ②已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 注：在 ABC中，sinA>sinB a b 是A>B的充要条件。（∵sinA>sinB a>bA>B） 2R 2R 二、应用举例 1、实际问题中的常用角 1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如 图①） （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相关于水平线而言的，而方位角是相关于正北方向而言的。 3）方向角：相关于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东o即由指北方向顺时针旋转o抵达目标方向； ②北偏本o即由指北方向逆时针旋转o抵达目标方向； ③南偏本等其他方向角近似。 （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡比） 2、ABC的面积公式 （1）S 1agha(ha表示a边上的高)； 2 （2）S 1absinC 1acsinB 1bcsinA abc(R为外接圆半径)； 2 2 2 4R （3）S 1 b c)(r为内切圆半径)。 r(a 2 【典型例题】 [例1]已知在 ABC中， A 45，a 2，c 6解此三角形。 练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。 （1）a 5，b 4，A120 （2）a 7，b 14，A 150 （3）a 9，b 10，A60 （4）c 50，b 72，C 135 正弦定理余弦定理的应用： 例2： 在 ABC中，角A,B,C 所对的边分a,b,c.若acosA bsinB，则 sinAcosA cos2B（ ） A．1 B ．1 C ．-1D．1 2 2 练习：在△ABC中，sin2A sin2B sin2C sinBsinC，则A的取值范围是 （A）(0, ] （B）[ ,) （C）(0,] （D）[ , ) 6 6 3 3 利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围 [例3]若△ABC的三个内角知足 sinA:sinB:sinC 5:11:13则△ABC A．一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形. C．一定是钝角三角形. D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 练习：1、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC 的值等于______，AC的取值范围为______． cosA π π b＝ sin2C 2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3 2 a－b sinA－sin2C (1)判断△ABC的性状； uuuruuur uuuruuur 若|BA＋BC|＝2，求BA·BC的取值范围． 3 、在△ABC中，cos2 B ＝a＋c ，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 2 2c ( ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 利用正余弦定理求三角形面积 〖例4〗（2009浙江文）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且知足cosA 25 ， 2 5 uuur uuur AB AC3． I）求ABC的面积； II）若c1，求a的值． ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且知足cosA 25 uuur uuur 3． 练习：在 ，AB AC 2 5 （I）求 ABC的面积； A （II）若b c6，求a的值． 正余弦定理实际应用问题 〖例5〗 12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距 （本小题满分 C B D 5(3＋3)海里的两个观察点， 现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信