正切函数的图像与性质教案人教课标版(教案).docx

课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师：上海市敬业中学张丽霞 教学目的 （）理解正切函数的定义及正切函数的图像特点，研究并掌握正切函数的基本性质． （）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形联合的思想，形成发现问题、提出 问题、解决问题的能力，养成优秀的数学学习习惯． （）在解决问题的过程中，体验战胜困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单一性及证明． 教学方法 教师启迪讲解，学生积极探究． 教学手段 计算机协助． 教学过程 一、设置疑问，引入新课 、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于随意一个实数x，都有唯一确定的值tanx与它对应，按照这个对应法例所成立的函 数，表示为ytanx，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：xk,kZ． 2 (设计意图：xk,kZ，是学生容易犯错的地方，经过学生之间的自我纠错，理解不 2 能取k,kZ的原因) 2 今天我们就要研究正切函数ytanx（xk 、作函数图像的常用的方法是什么？ （）描点法是作函数图像最基本的方法；（）利用基本初等函数图像的变换作图．大家认为应当选择哪一种方法呢？ 学生的回答会选择（）． 教师引导：描点应当联合函数的性质，描重点点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质．  kZ）的图像与性质． 2 二、主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、定义域：x|xR,xk,kZ． 2 学生能够快速解决． 2、值域： 请学生回答，并讲清楚原因，进而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角与关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、奇偶性：奇函数． 学生会利用tan(x)tanx快速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？ （可举反例说明不是偶函数） 4、周期性：是最小正周期． 学生会利用tan(x)tanx，获得是函数的周期． 教师提问：可否说明是最小正周期？ 引导学生思考可否利用周期函数的定义证明呢？ 反证法： 假定存在T0(0 T0 )是ytanx的周期，则 x x|xR,xk ,kZ 2 都有tan(xT0) tanx．取x 0，则tanT0 tan0 0． T0 k ,k Z． 0 T0 , 0k1，这与k Z矛盾． 进而， 是正切函数的最小正周期． 5、单一性：函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数． 有学生可能会在正切线的复习中，认为是个增函数． 若学生这样回答，则能够请同学思考，是否正确？怎样说明？ 有学生可能说因为是周期函数，所以不是单一函数，就请同学持续思考，周期函数不是 单一函数的原因． （举反例：x1 4 ,x25,x1 x2,tanx1tanx2．这与单一性的定义矛盾） 4 对每一个k Z ，在开区间 k ,k 内，函数单一递增． 22 （能够先作图，经过图察看获得结论，然后证明） （二）联合性质，作出函数的图像 （）根据正切函数的周期性，我们能够先画出一个合适的、长度为的区间上的图像，选择哪一个呢？ 选择区间,；简单说明选择的原因． 22 （）借助于正切线，描点，然后用圆滑的曲线顺次连结，获得函数在,上的图像． 22 （）根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，获得正切函数 ytanx(x R且x k ,k Z)的图像． 2 3 3 O 3 5 3 7 -2 - - 2 -- - - 4 2 4 4 2 4 2 4 4 2 4 （三）察看图像，进一步研究性质 请同学们仔细察看正切函数的图像，发现有何特点？ （正切函数的图像是它的性质的直观表现） 、正切函数的图像是被相互平行的直线∈所分开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的． 2 、对每一个kZ，在开区间k,k内，函数单一递增． 22 （同学思考，达成证明） 、正切函数的图像对于原点对称；（问：还有其他的对称中心吗？） 三、经过练习，稳固基础 例．已知函数， （）若x[,],求的取值范围； 34 （）若x0,,,求的取值范围． 22 说明： （1）利用函数在区间[,]上单一递增获得答案． 34 （2）  把在区间  0,  ,  上的图像不断向左、右扩展，也可获得正切函数 2  2 ytanx  (x  R且x  k  ,k  Z)的图像．因此，有同学说正切函数在一个 2 周期上递增是错误的．也能够比较说明，作正切函数图时选择  ,  的合理性． 22 例．写出使不等式1tanx0成立的的会合． 说明：先求在,上知足条件的x，然后扩展到整个定义域． 22 函数图像是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了 “形”的直观性．它是探究解