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正切函数的性质与图象
考大纲求：能画出y=tanx的图象，认识三角函数的周期性.，理解正切函数在区间
（）的单一性.
教学目标
知识目标：认识利用正切线画出正切函数图象的方法；
认识正切曲线的特点，能利用正切曲线解决简单的问题；
掌握正切函数的性质。
能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单一性，能利用正切曲线解决简单的问题。
情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中领会类比的思想。
教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质
教学难点：1、利用正切线获得正切函数的图象
2、对正切函数单一性的理解
教学方法：探究，启迪式教学
教学过程
复习导入：1.正切函数的定义及几何表示，正切函数ytanx的定义域是什么？
2.正弦曲线是怎样画的？
讲解新课：
思考1：可否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选用哪一段好呢?画多长一段呢?
思考2：正切函数是不是周期函数？假如，最小正周期是什么？
思考3.诱导公式tan(x)tanx体现了正切函数的哪一种性质？
（一）作y
tanx，x
,的图象
2
2
说明：
（1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，获得正切函数
ytanxxR，且xkkz的图象，称“正切曲线”。
2
y
y
3
O
x
0
3
2
2
x
2
2
（2）由图象能够看出，正切曲线是由被相互平行的直线
无穷多支曲线组成的。
（二）正切函数的性质
引导学生察看，共同获得：
xkkZ所分开的
2
（1）定义域：x|xk,kz；
2
（2）周期性：T；
（3）奇偶性：由tanxtanx知，正切函数是奇函数；
（4）单一性：
思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？
引导学生察看正切曲线，小组议论的形式。
师举例说明：
师概括：不能。如图，取x1
,x2
5
4
12在定义域内，且1
3
2但y1
x,x
x
x,y
tanx,y
tanx
y,
所以，不能说正切函数你在整个定义域内是增函数，
而只能说，正切函数在开区间
k
,
kk
内单一递增。
2
2
（5）值域：R
察看图象，有：当x从小于
k
k
Z
，x
k时，tanx
2
2
当x从大于
2
kk
Z
，x
k时，tanx
。
2
（三）、典型例题
例1（课本P44
例6）．求函数
y
tan(
x
的定义域、周期和单一区间。
)
2
3
解：函数的自变量应知足：
。
即
x
3
k
,kZ,
2
2
x
2k
1,k
Z.
3
函数的定义域为
x|x2k1,kZ.
3
周期T
2
2
因此函数y
tan(x
)
的周期为2
2
3
由
k
x
解得
Z
3
2
2
2
5
2k
x
1
2k,k
Z.
3
3
因此，函数的单一递增区间为
51
2k,2k,kZ.
3
例2．不经过求值，比较下列两个正切函数值的大小：
与．
说明：比较两个正切值大小，重点是把相应的角化到y=tanx的同一单一区间内，再利用
y=tanx的单一性解决。
讲堂练习：1求下列函数的定义域和周期。（课本P45练习4）
(1)ytan2x,xk(kZ)
42
(2)y5tanx,x(2k1)(kZ)
2
讲堂小结：
1、正切函数的图象：
2布置作业：P46习题：
A组6、7
B组2
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