高中数学：第六章6-2-2第2课时排列的综合问题.docx

第2课时排列的综合问题

学习目标1.掌握几种有限制条件的排列.2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．

一、元素的“在”与“不在”问题

例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．

(1)甲不在首位的排法有多少种？

(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？

(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？

解(1)方法一把元素作为研究对象．

第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有Aeq\o\al(5,6)种排法．

第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有Aeq\o\al(4,6)种排法．根据分步乘法计数原理，有4×Aeq\o\al(4,6)种排法．

由分类加法计数原理知，共有Aeq\o\al(5,6)＋4×Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)排法．

方法二把位置作为研究对象．

第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有Aeq\o\al(1,6)种方法；

第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有Aeq\o\al(4,6)种方法．

由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)排法．

方法三(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．

不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有Aeq\o\al(5,7)种，甲在首位的情况有Aeq\o\al(4,6)种，

所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7)－Aeq\o\al(4,6)＝2160(种)．

(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．

第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有Aeq\o\al(2,6)种方法；

第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(3,5)种方法．

根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(3,5)＝1800(种)方法．

(3)把位置作为研究对象．

第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有Aeq\o\al(2,5)种方法；

第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有Aeq\o\al(3,5)种方法．

根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,5)＝1200(种)方法．

(4)间接法．

总的可能情况有Aeq\o\al(5,7)种，减去甲在首位的Aeq\o\al(4,6)种排法，再减去乙在末位的Aeq\o\al(4,6)种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次Aeq\o\al(3,5)种排法，所以共有Aeq\o\al(5,7)－2Aeq\o\al(4,6)＋Aeq\o\al(3,5)＝1860(种)排法．

反思感悟解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．

排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．

跟踪训练15名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？

解方法一(先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有Aeq\o\al(2,5)种方法，余下的四人可任意站，有Aeq\o\al(4,4)种方法，

所以符合要求的排法为Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝480(种)．

方法二(先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有Aeq\o\al(1,4)种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有Aeq\o\al(5,5)种排法．因此符合题意的排法为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480(种)．

方法三(间接法)由于六个人任意排有Aeq\o\al(6,6)种排法，但实际必须减去老师排在排头的Aeq\o\al(5,5)种方法和排在排尾的Aeq\o\al(5,5)种方法，因而有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480(种)．

二、“相邻”与“不相邻”问题

例23名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)男、女各站在一起；

(2)男生必须排在一起；

(3)男生不能排在一起；

(4)男生互不相邻