高中数学：平面向量的数量积及其应用4种题型（解析版）.docx

平面向量的数量积及其应用4种题型

题型一：平面向量的数量积运算

【例1】如果是两个共线的单位向量，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.

【答案】

【例3】已知向量，满足，，则

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【例4】已知边长为1的等边△ABC，，则（）

A． B．3 C． D．6

【答案】A

【详解】

.

【例5】在中，，则为（????）.

A．4 B．3 C． D．5

【答案】C

【详解】在中，，

，，，

又，.

【例6】在中，，，，则边上中线的长为_____.

【答案】

【详解】因为，所以

所以，所以，

【例7】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________.

【答案】

【详解】分别取的中点，连接，

因为为的外心，，，

，，

，

，

，

【例8】在中，为重心，，，则=________.

【答案】

【详解】设中点为，

为的重心且，，，

因为，，

所以.

【例9】在中，，，．若，，且，则的值为___________．

【答案】

【解析】，，则

==，解得．

【例10】已知向量_______．

【答案】

【解析】方法一：因为，所以，即

所以，所以，所以

方法二：因为，所以，所以，即

所以，所以，

同理，所以，即，所以，所以，

同理，所以，即，所以，所以，

所以

题型二：平面向量的模运算

【例1】设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【例2】已知向量，的夹角为60°，，，则=．

【答案】

【例3】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题

：∈[0，）：∈(，]

：∈[0，）：∈(，]

其中真命题是

（A），(B)，(C)，(D)，

【答案】A

【解析】由得，，即＞，即=＞，

∵∈[0，]，∴∈[0，），

由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，

【例4】设，是两个非零向量（）

A．若，则B．若，则

C．若，则存在实数，使得

D．若存在实数，使得，则

【答案】C

【解析】对于A，，所以，所以，所以A错，B错；C对，D有可能为

【例5】设向量满足，，则（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】A

【解析】∵，，∴……①，……②．

由①②得：，故选A．

【例6】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】∵，∴，∴

，又，∴，∴；反之也成立，故选C．

【例7】已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||=．

【答案】．

【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）

【例8】若平面向量，满足：；则的最小值是．

【答案】

【解析】，

∴

题型三：平面向量的夹角运算

【例1】非零向量，满足：，，则与夹角的大小为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】非零向量，满足，∴，

由可得，解得，

，为与的夹角，

，故选A．

【例2】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.

【答案】

【解析】因为，，所以，

，所以，所以．

【例3】已知向量，的夹角为，则__________.

【答案】

【解析】依题意，所以.

【例4】已知向量满足，则 （）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】，，，．

，因此．故选D．

【例5】已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为．

【答案】

【解析】∵，∴O为线段BC中点，故BC为的直径，

∴，∴与的夹角为．

题型四：平面向量的投影

【例1】已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（????）

A． B． C． D．

【答案】C【详解】在上的投影向量

【例2】已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【详解】∵，，∴，∴，∴在方向上的投影的数量是.

【例3】设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（????）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【详解】解：因为在方向上的投影向量为，所以，

所以，因为与垂直，所以，即，解得.

【例4】（多选题）设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（????）

A．B．C．D．

【答案】BC