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(1)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
(2)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
(3)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
一、两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与相交
与垂直
与平行
且
或
与重合
且
注意:(1)当两条直线平行时,不要忘记它们的斜率不存在时的情况;(2)当两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
二、两条直线的交点
对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,
与的交点坐标就是方程组的解.
(1)方程组有唯一解与相交,交点坐标就是方程组的解;
(2)方程组无解;
(3)方程组有无数解与重合.
三、距离问题
(1)平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=.
四、对称问题
(1)中心对称:点为点与的中点,中点坐标公式为.
(2)轴对称:若点关于直线l的对称点为,则.
考向一 两直线平行与垂直的判断及应用
由两直线平行或垂直求参数的值:在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否需要分情况讨论;“后想”就是在解题后,检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解.
典例1 若直线与直线平行,则的值为
A. B.
C. D.2
【答案】B
【名师点睛】本题主要考查两直线平行的充要条件,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题.直接根据两直线平行的充要条件,列出关于的方程求解即可.
1.“”是“直线和直线垂直”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考向二 两直线的相交问题
1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为点的坐标,即交点的坐标.
2.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.
典例2 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l的方程.
【答案】直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法二:由,解得x=2y=1,即点P
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0,把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0,解得c=-4.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法三:直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
2.已知直线和直线相交于点P(2,3),则经过点P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直线方程是________.
考向三 距离问题
1.求两点间的距离,关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.
2.解决点到直线的距离有关的问题,应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离,要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
典例3 (1)若点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,且直线l过点P(-1,2),则直线l的方程为_________;
(2)若直线m被两直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为,则直线m的倾斜角θ(θ 为锐角)为_________.
【答案】(1)x+3y-5=0或x=-1;(2)15°或75°
方法二:当AB∥l时,有kl=kAB=,直线l的方程为y-2=(x+1),即x+3y-5=0.
当l过AB的中点时,由AB的中点为(-1,4),得直线l的方程为x=-1.
综上,直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
(2)显然直线l1∥l2,直线l1,l2之间的距离,
设直线m与l1,l2分别相交于点B,A,则|AB|=,
过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则|AC|=d=,
在中,sin∠ABC=,所以∠ABC=30°,
又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°-30°=15°或45°+30°=75
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