解密23 曲线与方程-备战高考数学（理）之高频考点解密含解析.docVIP

高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 求曲线与方程 预计高考对本讲内容的考查将以求曲线方程和研究曲线的性质为主.与平面向量或者平面几何综合命题，应予以重视. 2017课标全国Ⅱ20 2016课标全国Ⅰ20 2015广东20 ★★★★ 考点 求曲线与方程 题组一 直接法求轨迹方程 调研1 已知平面上两点A(-,0),B(,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)在y轴上的截距为1的直线l与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程. 【解析】(1)设点P(x,y)，因为A(-,0)，B(,0)，所以直线PA的斜率为(x≠-)，直线PB的斜率为(x≠), 又直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为, 所以·=k1·()=(x≠±),整理得+y2=1(x≠±), 所以点P的轨迹C的方程为+y2=1 (x≠±). (2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),在y轴上的截距为1的直线l的方程为y=kx+1, 联立消去y,得(1+2k2)x2+4kx=0, 解得x1=0,x2=, 所以|MN|=|x1-x2|=||=, 整理得k4+k2-20=0,即(k2-4)(k2+5)=0,解得k=±2. 所以直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0. ☆技巧点拨☆ 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．此种方法在高考中比较常见，在求出曲线的方程后，注意去掉不符合题意的点. 题组二 定义法求轨迹方程 调研2 在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1． （1）求点的轨迹的方程； （2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明：是一个定值． 【解析】（1）到定点的距离与到定直线的距离相等， ∴的轨迹是一个开口向右的抛物线，且， ∴的轨迹方程为． （2）设过的直线l的方程为， 联立整理得， 设直线与抛物线的交点为，， 则有，， 又， 因此是一个定值，为． 题组三 相关点法求轨迹方程 调研3 如图,在平面直角坐标系中,已知△PAB的周长为8,且点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0). (1)试求顶点P的轨迹C1的方程. (2)若动点P1(x1,y1)在曲线C1上,试求动点Q(,)的轨迹C2的方程. (3)过点C(3,0)作直线l与(2)中的曲线C2相交于M,N两点,试探究是否存在直线l,使得点N恰好是线段CM的中点.若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由题意,可得顶点P满足PA+PB=6, 故顶点P的轨迹C1是以A,B为焦点的椭圆,但要除去椭圆的左、右两个顶点. 则a=3,c=1,所以b2=a2-c2=8, 故轨迹C1的方程为+=1(x≠±3). (2)由题意,知点P1(x1,y1)在曲线C1上,故+=1(x1≠±3). 设=x,=y,则x1=3x,y1=2y. 代入+=1(x1≠±3),得x2+y2=1(x≠±1), 所以动点Q(,)的轨迹C2的方程为x2+y2=1(x≠±1). (3)假设存在直线l,使得点N恰好是线段CM的中点, 设M(x2,y2)(x2≠±1),则+=1.　① 因为点N恰好是线段CM的中点,所以N(,). 又点N在曲线C2上,所以()2+()2=1.　② 联立①②,解得x2=-1,y2=0,与x2≠±1矛盾. 故不存在满足题意的直线l. 题组四 参数法求轨迹方程 调研4 已知常数，向量，，经过点，以为方向向量的直线与经过点，以为方向向量的直线交于点，其中． （）求点的轨迹方程，并指出轨迹． （）若点，当时，为轨迹上任意一点，求的最小值． 【解析】（）由题意得， ∴直线的方程为 ①， 又，∴直线的方程为 ②， 由①，②消去参数，得， 整理得， 故点的轨迹方程为． 当时，轨迹是以为圆心、半径为的圆； 当时，轨迹是以为焦点、长轴长为的椭圆； 当时，轨迹是以为焦点、长轴长为4的椭圆． （）当时，轨迹的方程为， ∵为轨迹是任意一点，∴设点， 则， ∵，∴当时， 取得最小值． 1．（2017-2018学年云南省昆明一中高三第二次月考）已知点,动点满足,则点的轨迹为 A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 2．（北京市西城161中2018届高三上期中数学真题卷）如图，正方体中，动点在侧面内，且点到棱与棱的距离相等，则点运动形成的图形是 A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 3．（辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三第八次模拟考试）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为、. 若动点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为 A． B． C．