解密31 不等式选讲-备战高考数学（理）之高频考点解密含解析.docVIP

高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 含绝对值不等式的解集及其应用 从近三年高考情况来看，选考系列由原来的三选一变为二选一，且主要以解答题的形式中出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 2017新课标全国Ⅰ 23 2017新课标全国Ⅲ 23 2016新课标全国Ⅰ 24 2016新课标全国Ⅱ 24 2016新课标全国Ⅲ 24 2015新课标全国Ⅰ 24 ★★★★★ 不等式的证明 2017新课标全国Ⅱ 23 2016新课标全国Ⅱ 24 2015新课标全国Ⅱ 24 ★★★★ 考点1 含绝对值不等式的解集及其应用 调研1 已知函数，． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，直线与函数的图象围成三角形，求的最大值及此时围成的三角形面积． 【答案】（1）；（2）的最大值为1，三角形面积为. 【解析】（1）∵恒成立，即恒成立， ∴恒成立， 由知，当时，满足题意， 解得或， ∴所求的取值范围为． （2）当时，， 作出图象， 2 2 可知，当时，直线与函数的图象围成三角形， ∴所求的最大值为1，此时围成的三角形面积为． 调研2 设函数. （1）解不等式； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为, 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得. 所以不等式的解集为. （2）依题意只需， 而， 所以，所以或, 故实数的取值范围是. ☆技巧点拨☆ 含绝对值不等式的解法 1．公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a??a<x<a(a>0)和|x|>a?x>a或x<?a(a>0)直接求解不等式； 2．平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|?f(x)2≥g2(x)； 3．零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解； 4．几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c,|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a?c|≤|a?b|+|b?c|,当且仅当(a?b)(b?c)≥0时,等号成立. (3)推论1:||a|?|b||≤|a+b|. (4)推论2:||a|?|b||≤|a?b|. 5．图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|?a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. 考点2 不等式的证明 调研1 设函数. （I）当时，解不等式； （II）若的解集为，，求证：. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】（I）当a=2时，不等式为， 若，则，解得； 若，则，即，无解； 若，则，解得. 所以不等式的解集为. （Ⅱ）即，解得， 而的解集是，所以，解得a=1， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 调研2 设，且，求证： （1）； （2）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）， ， . （2） ， . 【名师点睛】（1）用作差比较法证明即可． （2）将条件变形得，然后根据及可得结论成立． 1．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区2018届高三5月适应性训练）设函数，其中. （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的值. 【答案】（1）；（2）3. 2．（东北三省三校（哈尔滨师范大学附属中学）2018届高三第三次模拟考试）已知函数. （1）若，解不等式； （2）若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路点拨】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果； （2）由，可得，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可. 【名师点睛】绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 3．（2018年4月2018届高三第二次全国大联考（新课标Ⅰ卷））设函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（1）. 4．（2018年普通高校招生全国卷一（A