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数列通项有关类型及解法探究 　　数列是高中数学的重要内容.近年来的高考出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题.在高考中本小节是重点，求数列的通项要注意以下两点： 　　1． 比较简单的，不完全归纳法与猜想便能解决，前提是等差、等比这两种数列基础扎实，且要求熟记一些常见结论与方法.如公式法，叠加法，累乘法，待定系数法，周期性法及构造数列等方法. 　　2． 对于较难的求通项，应化归为等差、等比这两种数列处理或递推迭代，要有一定的技巧性.对于这类数列我们一般是用化归的思想转化为我们熟知的等差数列或等比数列，或用数学归纳法求解. 　　本文仅从数列通项的题型分类，通过例题解析的方式来探究它的求法，希望对同学们有所帮助. 　　类型一：形如Sn=f（n）或Sn=f（an）的关系，求an. 　　例1．已知数列{an}的前n项和Sn=n3+n-1，求{an}的通项公式. 　　解析：a1=S1=1+1-1=1. 　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n3+n-1）-[（n-1）3+（n-1）-1]=3n2-3n+2，此时，a1=2≠S1=1，∴ an=1，（n=1）3n2-3n+2.（n≥2） 　　例2．已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且２■＝an＋１，求通项an . 　　解析： (1) 当n=1时，２■＝２■＝a1＋１，得（■－１）２＝０，∴a1＝１. 　　当n≥2时，由Sn＝（■）２，Sn-1=（■）２相减得：４an＝（an＋1）２ 　　－（an-1＋１）２＝an２＋２an－a２n-1－２an-1?圯（an＋an－１）?（an－an－１）－２（an＋an－１）＝０?圯（an＋an－１）?（an－an－１－２）＝０. 　　∵an＋an－１≠０，∴an＝an－１＋２，∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝２n－１. 　　点评：数列有形如Sn＝f（n）或Sn＝f（an）的关系，可考虑用求差Sn－Sn-1＝an后，再用其它初等方法求得an，但要检验S1＝a１，一定要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一. 　　类型二：形如an＋１＝an?f（n）的数列，求an. 　　例3．在数列{an}中，a1＝■，an＝■?an－１（n≥2），求an. 　　解析：由条件得a２＝■?a１，a３＝■?a２，a４＝■?a３，a５＝■?a４，…，an＝■?an－１， 　　将这n－1个式子迭乘并化简，得an＝■. 　　点评：数列有形如an＋１＝an?f（n）???解析关系，而f（1）?f（２）?…?f（n）的积是可求的，可用多式累（迭）乘法求得an. 　　类型三：形如an＋１＝Ａan＋D（Ａ≠０，1，D≠０）的数列，求an. 　　思路方法：an＋１＝Ａan＋D,可变形为an＋１＋x＝Ａ（an＋x），则an＋１＝Ａan＋（Ａ－1）x,∴x＝■，从而构造等比数列an＋■解之，即an＋１＋■＝Ａ（an＋■）. 　　例4．已知在数列{an}中，a1＝１，an＋１＝３?an-１，求an. 　　解析：由an＋１＋x＝３（an＋x），得an＋１＝３an＋２x＝３an－１即x＝－■， 　　∴数列an－■是首项为■，公比为3的等比数列，∴an－■＝■?３n－１，∴an＝■（３n－１＋１）. 　　巩固题：已知数列{an}的递推关系为an＋１＝２an＋１，且a1＝１，求通项an. 　　解析：∵an＋１＝２an＋１，∴an＋１＋１＝２（an＋１）. 　　令bn＝an＋１，∵ a１＝１，∴b１＝２. 　　则构造数列{bn}是公比为2的等比数列，∴bn＝b１qn-１即an+1=(a1+1)qn-１=2n ，∴ an＝2n－１. 　　点评：这类题是高考的热点和重点,一定要牢牢掌握它的变形本质，通常运用待定系数法.只是进行一次变式把数列化归为等比数列. 　　类型四：形如an＋１＝Ａan＋C?n（Ａ≠０，1，C≠０）的数列，求an. 　　思路方法：an＋１＝Ａan＋Cn可变形为an＋１＋x（n＋１）＋y=Ａ（an＋xn＋y），则an＋１＝Ａan＋（Ａ－１）xn＋（Ａ－１）y－x，由待定系数法得x＝■，y＝■，从而构造数列即：an＋１＋■（n＋１）＋■＝Ａ（an＋■n＋■）. 　　例5.已知数列{an}满足：a１＝－４，an＋１＝５an＋１６n（n∈N?鄢），求数列{an}的通项公式. 　　解析：∵a１＝－４，an＋１＝５an＋１６n，可变形为an＋１＋４（n＋１）＋１＝５（an＋４n＋１）.令bn＝an＋４n＋１，∵a１＝－４，∴b１＝１.则构造数列{bn}是公比为５的等比数列. 　　∴bn＝an＋４n＋１＝１×５n－１＝５n－１，即an＝５n－１－４n－１.