数列求和几种方法和技巧.doc

数列求和几种方法和技巧 　　【摘要】数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。对学生来说这部分是一个难点，但只要找准规律这类问题也就会迎刃而解，下面，就根据几个例题来谈谈数列求和的几种方法和技巧。 　　 【关键词】数列前n项求和方法技巧 　　 【中图分类号】G633.62 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）07-0152-02 一、利用常用求和公式求和 　　 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 　　 1.等差数列求和公式：Sn=■=na1+■d 　　 2.等比数列求和公式：Sn=na1 (q=1)■=■(q≠1) 　　 3.Sn=■k=■n(n+1) 　　 4.Sn=■k2=■n(n+1)(2n+1) 　　 5.Sn=■k3=[■n(n+1)]2 　　 二、反序相加法求和 　　 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an).将Sn=a1+a2+…+an与Sn=an+an-1+…+a1两式相加,如果得到一个常数列,其和为A,那么Sn=■. 　　 例1：已知f(x)满足x1,x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=■,若求Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),n∈N,求Sn 　　 由f(x1)+f(x2)=■知只要自变量x1+x2=1即成立,又知0+1=1?■+■=1,…,则易求Sn. 　　 解：因为Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),① 　　 　　 所以Sn=f(1)+f■+…+f■+f(0).② 　　 ①+②,得 　　 2Sn=[f(0)+f(1)]+f■+f■+…+[f(1)+f(0)] 　　 =■ 　　 =■(n+1). 　　所以Sn=■(n+1). 　　 例2：求证：C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■=(n+1)2■ 　　 证明： 设Sn=C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■① 　　把①式右边倒转过来得 　　 Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■ （反序） 　　 又由C■■=C■■可得 　　 Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■② 　　 ①+②得2Sn=(2n+2)(C■■+C■■+…+C■■+C■■)=2(n+1)?2n（反序相加） 　　 ∴Sn=(n+1)?2n 　　 三、错位相减法求和 　　 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an?bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。 　　 例3：如已知数列{an}：an=(2n-1)?3n，求数列{an}前n项和Sn 　　 解：Sn=1×31+3×32+5×33+…+[2(n-1)-1]?3n-1+(2n-1)?3n① 　　 在上式两边同乘以等比数列{3n}的公比3，得 　　 3Sn=1×32+3×33-5×34+…+[2(n-1)-1]?3n+(2n-1)?3n+1② 　　 由①～②（两等式的右边错位相减） 　　 2Sn=1×31+(3×32-1×32)+(5+33-3×33)+…+{(2n-1)3n-[2(n-1)-1]3n}-(2n-1)3n+1 　　 =1×31+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)3n+1 　　 =1×31+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1 　　 =3+(3n+1-9)-(2n-1)?3n+1 　　 =(2-2n)3n+1-6 　　 ∴Sn=(n-1)?3n+1+3 　　 点评：在①式两边也可以同时除以等比数列的公比3，得到式子与①式错位相减也可求出Sn. 　　 四、裂项法求和 　　 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 　　 常见的裂项方法有： 　　 1．■=■(■-■) 　　 2．■=■(■-■) 　　 3．■=■[■-■] 　　 4．■=■(■-■) 　　 例4：求数列■,■，…，■的前n项和 　　 解：设an= ■=■-■(裂项） 　　 则Sn=■+■+…+■（裂项求和） 　　 ＝(■-■)+(■-■)+…+(■-■) 　　 ＝■-1 　　 五、分组法求和 　　 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差