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数列求和常见方法 　　数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，数列求和是对数列有关知识的拓展及深化理解,是历年高考考察的重点内容之一，主要以综合解答题的形式呈现，难度在中等偏上，是设置试卷区分度较好内容之一。现将高中阶段较常用的数列求和的方法进行归纳，供参考： 　　一、公式法求和（直接求和） 　　通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前n个正整数和的计算公式等直接求和。因此有必要熟练掌握一些常见的数列的前n项和公式。下列是数列常用求和公式： 　　1. 等差数列求和公式：s==na1+d； 　　2. 等比数列求和公式：s=na1(q=1)，sn=(q≠1) 　　3. 1+2+3+……+n-; 　　4. 1+3+5+7+……+（2n-1）=n2 　　5.1+22+32+42+…+n2= 　　[例1] 已知log3 x=，求x+x2+x3+…+xn的+…前n项和。 　　解：由log3 x=?圯log3x=-log32?圯x= 　　 　　由等比数列求和公式得， Sn=x+x2+x3+…+xn 　　===1- 　　【方法技巧】：公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.特别注意等比数列求和时q是否取1。 　　变式题：求x+x2+x3+…xn+的前n项和。 　　二、分组法求和 　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： 　　 　　 　　[例2]已知数列{an}的前五项是1，2，3，4，5， 　　（1）写出该数列的一个通项公式； 　　（2）求该数列的前n项和Sn。 　　解：（1）an=n+， 　　 （2）Sn=(1+)+(2+)+(2+)+…(n+) 　　=(1+2+3+…+n）+（+++…） 　　=+=-= 　　【方法技巧】：此数列的特征是{an+bn}两部分构成，其中{an}是整数部分，又是等差数列，{bn}分数部分又是等比数列。所以此数列可以转化为等差数列和等比数列再求和，此方法称为分组法求和法。在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和.此法的关键是把数列适当拆开重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并。将通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。 　　变式题：求数列1，3，5，7，……的前n项和。 　　三、错位相减法求和 　　如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求和. 　　[例3] 已知数列{an}的前五项，，，，， 　　（1）写出该数列的一个通项公式； 　　（2）求该数列的前n项的和Sn。 　　解：（1）an=， 　　（2）∵sn=+++……+ 　　 ∴sn=+++…+ 　　 ∴(1-)sn=+++…+- 　　 ∴ sn=- 　　【方法技巧】：此数列的特征是{an×bn}两部分构成，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。所以此数列称为差比数列，可以利用等比数列前n项和的求和方法“错位相减法”来求。此法的关键是找出sn的另外一个关系式qsn(其中q是等比数列的公比)，然后两关系式再相减求和。 　　注意：若等比数列{bn}中公比q未知，则需要对公比q（分q=1和q≠1两种情况）进行分类讨论。 　　变式题：求1x+2x2+3x3+…+nxn+…的前n项和。 　　四、裂项相消法求和 　　把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.适用于类似{}（其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数）的数列，以及部分无理数列和含阶乘的数列等。 　　[例4]求数列，，，…，的前n项和。 　　解：sn=，，，… 　　=(1-)+(-)+(+)+…（-） 　　=1-= 　　【方法技巧】：本题利用的是“裂项相消法”，此法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次函数。其作法是把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。此法应注意对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。用裂项法求和，需要掌握一些常常用的裂项公式： 　　(1)=- 　　(2)=(-) 　　(3)=- 　　(4)=