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数列高考中热点题型探究 　　纵观近几年的高考,数列的考查有如下特征: 题型稳定.近几年来高考数列试题一直稳定在1-2个小题和1道大题上,分值约为20分左右, 占总分值的12%左右.关于数列的考查主要有以三个方面的内容:一是数列本身的知识,主要是等差数列、等比数列概念、通项公式、性质、前n项和公式;二是数列与其它知识的交汇如:与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识的结合;三是数列的应用问题,主要是增长率、分期付款等.下面针对高考中的几个热点举例分析说明如下:?? 　　1.数列本身的知识的问题?オ? 　　例1 (2009湖南卷)设S??n是等差数列{a??n}的前n项和,已知a??2=3,a??6=11,则S??7= .?? 　　【解析】S??7=7(a??1+a??7)2=7(a??2+a??6)2=7(3+11)2=49?? 　　或由a??2=a??1+d=3??a??6=a??1+5d=11 ??a??1=1??d=2 ,a??7=1+6×??2=??13.?? 　　所以S??7=7(a??1+a??7)2=7(1+13)2=49.?? 　　【点评】数列中的填空题,常常是考查数列的概念、性质、通项公式等,解决问题的方法,基本上是转化为等差或等比数列,再用方程与数列性质来解决,即建立以a??1和d(或q)为未知数建立方程,解出a??1和d(或q),问题基本就可以解决了.?? 　　 　　2.数列与函数相结合问题?オ? 　　例2 (南通市2009-2010高三一模)设等差数列{a??n}的前n项和为S??n,且a??5+a????13??=34,S??3=9.(Ⅰ)求数列{a??n}的通项公式及前n项和;(II)设数列{b??n}的通项公式为b??n=a??na??n+t,问: 是否存在正整数t,使得b??1,b??2,b??m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.?? 　　【解析】(Ⅰ)设等差数列{a??n}的公差为d. 由已知得a??5+a????13??=34,??3a??2=9,即a??1+8d=17,??a??1+d=3, 解得a??1=1,??d=2. ,故a??n=2n-1,S??n=n??2.?? 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知b??n=2n-12n-1+t.要使b??1,b??2,b??m成等差数列,必须2b??2=b??1+b??m,?? 　　即2×33+t=11+t+2m-12m-1+t,整理得m=3+4t-1,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.故存在正整数t,使得b??1,b??2,b??m成等差数列.?? 　　【点评】第(Ⅰ)问思路明确,只要求基本量a??1,d即可;第(Ⅱ)问须构造出m,t的函数关系式,然后用整除的性质.?? 　　例3 (南京市2009-2010高三期末)设函数f(x)=2x+33x(x>0),数列{a??n}满足:?? 　　a??1=1,a??n=f1a????n-1??(n∈N??*,且n≥2).(1)求数列{a??n}的通项公式;?? 　　(2)设T??n=a??1a??2-a??2a??3+a??3a??4-a??4a??5+…+(-1)????n-1??a??na????n+1??,若T??n≥tn??2对n∈N??*恒成立,求实数t的取值范围;?? 　　(3)是否存在以a??1为首项,公比为q(0<q<5,q∈N??*)的数列{a????n??k??},k∈N??*,使得数列{a????n??k??}中每一项都是数列{a??n}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{n??k}的通项公式;若不存在,说明理由.?? 　　【解析】(1)因为a??n=f1a????n-1??=2×1a????n-1??+33×1a????n-1??=a????n-1??+23,(n∈N??*,且n≥2),?? 　　所以a??n-a????n-1??=23.因为a??1=1,所以数列{a??n}是以1为首项,公差为23的等差数列.?? 　　所以a??n=2n+13.?? 　　(2)①当n=2m,m∈N??*时,?? 　　T??n=T????2m??=a??1a??2-a??2a??3+a??3a??4-a??4a??5+…+(-1)????2m-1??a????2m??a????2m+1???? 　　=a??2(a??1-a??3)+a??4(a??3-a??5)+…+a????2m??(a????2m-1??-a????2m+1??)?? 　　=-43(a??2+a??4+…+a????2m??)=-43×a??2+a????2m??2×