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易错点11 直线与圆
易错题【01】写直线的截距式方程忽略截距为零的情况
直线的截距式方程为,其中分别为该直线在x轴、y轴上的截距,用截距式方程表示直线,首先保证直线在x轴、y轴上的截距都存在,且不为零,当截距不存在,或截距为零,不能使用截距方程表示直线。
易错题【02】利用斜率判断直线的垂直忽略斜率不存在的情况
若直线的斜率分别为,则,另外还要注意当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,这两条直线也垂直,因此用斜率判断直线的垂直,不要忽略斜率不存在的情况,此外为了避免讨论直线的斜率是否存在,可利用直线的方向向量,若 分别为直线的方向向量,则。
易错题【03】忽视方程表示圆的条件致误
圆的标准方程为,圆的一般方程为,在用圆的一般方程解题时要注意这一条件。
易错题【04】忽略三角形三顶点不共线致误
求解与△ABC与直线与圆的交汇问题,要注意三点不共线。
01
直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为
【警示】本题错误解法是:因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.
【答案】或
【问诊】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.正确解法为:若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为;若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.所以直线l的方程为或.
【叮嘱】直线l的方程可以表示为的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零.
??1.过点,且横、纵截距的绝对值相等的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
02
a为何值时,(1)直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:(3a-1)x-ay-1=0平行?
(2)直线l3:2x+ay=2与直线l4:ax+2y=1垂直?
【警示】本题错误解法是:(1)直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0的方程可变形为y=-eq \f(1,2a)x+eq \f(1,2a)与y=eq \f(3a-1,a)x-eq \f(1,a),
∴当-eq \f(1,2a)=eq \f(3a-1,a)且eq \f(1,2a)≠-eq \f(1,a),
即a=eq \f(1,6)时,两直线平行.
(2)当-eq \f(2,a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)))=-1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直.
【问诊】(1)没考虑斜率不存在即a=0的情况;(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况.
【答案】(1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2.
②当a≠0时,l1:y=-eq \f(1,2a)x+eq \f(1,2a),
l2:y=eq \f(3a-1,a)x-eq \f(1,a),
直线l1的斜率为k1=-eq \f(1,2a),
直线l2的斜率为k2=eq \f(3a-1,a),
要使两直线平行,必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-\f(1,2a)=\f(3a-1,a),,\f(1,2a)≠-\f(1,a),))解得a=eq \f(1,6).
综合①②可得当a=0或a=eq \f(1,6)时,两直线平行.
(2)方法一 ①当a=0时,直线l3的斜率不存在,直线l3:
x-1=0,直线l4:y-eq \f(1,2)=0,此时,l3⊥l4.
②当a≠0时,直线l3:y=-eq \f(2,a)x+eq \f(2,a)与直线l4:y=-eq \f(a,2)x+eq \f(1,2),直线l3的斜率为k3=-eq \f(2,a),直线l4的斜率为k4=-eq \f(a,2),要使两直线垂直,必须k3·k4=-1,
即-eq \f(2,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)))=-1,不存在实数a使得方程成立.
综合①②可得当a=0时,两直线垂直.
方法二 要使直线l3:2x+ay=2和直线l4:ax+2y=1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2+B1B2=0,即2a+2a=0,解得a=0,所以,当a=0时,两直线垂直.
【叮嘱】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法.
1.已知直线与直线垂直,则实数a的值为( )
A. B. C.或 D.不存在
2. (2022届“四省八校”高三上学期期中)直线和直线垂直,则实数的值为( )
A.或 B.
C. D.
03
已知圆C的
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