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易错点08 数列
易错题【01】利用关系求忽略
已知数列{an}的前n项和Sn,求通项an与Sn的关系中,an=Sn-Sn-1,成立的条件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1应由a1=S1求出,然后再检验a1是否在an中,这是一个典型的易错点.
易错题【02】利用等比数列求和忽略的情况
注意等比数列的求和公式是分段表示的:,所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知,则要注意分两种情况q=1和q≠1讨论.
易错题【03】裂项求和剩余项出错
用裂项相消法求和时,裂项后可以产生连续相互抵消的项,但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,一般来说前面剩余几项后面也剩余几项,若前面剩余的正数项,则后面剩余的是负数项.
易错题【04】混淆数列与函数的区别
数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时有时可以利用函数的性质,但是在利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数,忽略这一点很容易出错。
01
(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,
已知.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的通项公式.
【警示】本题易错之处是在由求时忽略对的讨论
【答案】(1)证明见解析;(2).
【问诊】(1)由已知得,且,,
取,由得,由于为数列的前n项积,
所以,
所以,所以,
由于所以,即,其中
所以数列是以为首项,以为公差等差数列;
(2)由(1)可得,数列是以为首项,以为公差的等差数列,
,,
当n=1时,(易错之处),
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【叮嘱】。
1.(2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考)数列中的前n项和,数列的前n项和为,则( ).
A.190 B.192 C.180 D.182
2. 已知各项均为正数的数列的前项和为,其中为常数.
(1)证明:;
(2)是否存在实数,使得数列为等比数列?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
02
【例4】求数列的前n项和.
【警示】本题易错之处是忽略考虑的情况
【答案】
【问诊】当时,;
当时,由于,
两式相减得
=
.
所以
【叮嘱】利用等比数列前n项和公式求解数列问题,要注意判断公比是否可以为1
1.(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)等比数列的前项和为,若,则( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期测试)已知数列是公比为的等比数列,是其前和,若恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
03
【例5】求和: ________.
【警示】本题错误解法是:
=
=.
【问诊】错误原因是裂项相消后,忽略前面与后面各剩余2项.
正确解法是:=
=.
【叮嘱】裂项求和要注意相消后剩余哪些项,不熟练时可以多写几项,发现规律。
1.(2022届广东省仲元七校高三上学期11月月考)设数列的前n项和,,,成等比数列.
(1)求数列的通项;
(2)数列的前n项和为,求数列的前n项和为.
2. 在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知公差不为0的等差数列的前项和为,是与的等比中项,______.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
04
已知,若数列是递增数列,则的取值范围是 .
【警示】本题易错之处是忽略正整数的不连续性,误用由二次函数的单调性,得出,即的错误结论。
【问诊】因为数列是递增数列,所以,
所以.
【叮嘱】求解数列问题可以利用函数性质,但要注意n是不连续的.
1.(2022届山东省枣庄市滕州市高三上学期期中)已知数列,,则下列说法正确的是( )
A.此数列没有最大项 B.此数列的最大项是
C.此数列没有最小项 D.此数列的最小项是
2. (2022届黑龙江省实验中学高三上学期月考)已知数列的前项和为,,数列满足,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设数列的前项和为,若不等式恒成立,求实数的取值范围.
错
1.(2022届江苏省徐州市高三上学期期中)已知等比数列的前项和,数列的前项和为,若数列是等差数列,则非零实数的值是( )
A. B. C.3 D.4
2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中)数列的前项和为,若,,则( )
A.数列是公比为2的等比数列 B.
C.既无最大值也无最小值 D.
3.(多选题)()若是公比为的等比数列,记为的前项和,则下列说法正确的是( )
A.若,则为递减数列
B.若,则为递增数列
C.若,则
D.若,则是等比数列
4.(多选题)(2022届江苏省新高考基地学校高三上学期联考)设数列的前n项和为
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