第二节定积分地基本性质2012-2-4.docxVIP

§定积分的根本性质 教学目的： 理解定积分的性质,了解性质的证明；能熟练正确 运用性质进展相关判断、计算和证明. 重点：能熟练正确运用性质进展计算和证明. 难点：性质的灵活运用. 教学方法： 以讲为主,讲练结合 教学过程： 一、定积分的性质 假 设 以 下 各 函 数 都 是 所 讨 论 区 间 上 的 可 积 函 数 , 且 a < b .<1-4 对a > b 也成立>,如此 [性质 1]j b kf (x)dx = k j b f (x)dx , <k 为常数>. a a 常数因子可以提到积分符号外 . 证明： j b kf (x)dx = lim xn kf (飞 )编x i=1a ||编||)0 i i=1 = k lim xn f (飞 )编x = k j b f (x)dx . ||编||)0 i i ai=1[性质 2] = k lim xn f (飞 )编x = k j b f (x)dx . ||编||)0 i i a i=1 a a a 即代数和的积分等于积分的代数和 . 证明： j b [f (x) 士 g(x)]dx = lim xn [f (飞 ) 士 g(飞 )]编x i=1a ||编||)0 i i i=1 = lim xn f (飞 )编x 士 lim xn g(飞 )编x ||编||)0 i i ||编||)0 i i = j b )dx 士 j b a a 注:1-2 可合并为 [性质 3] 〔定积分的可加性〕即假如积分区间 [a,b] 被点 c 分割成两个小区间 [a,c] 、 [c,b] ,如此 j b f (x)dx = j c f (x)dx + j b f (x)dx .其中不论c 在 a a c . [a,b] 外,还是在[a,b] 内都不影响结论 . 证明 ：<1>先假设a < c < b .设 编 与 编 是[a,c] 与的[c,b] 分 1 2 割,那么 编 与 编 联合起来构成了 [a,b] 的分割 编 . 1 2 于是 j b f (x)dx = lim xn f (飞 )编x i=1a ||编||)0 i i=1 <2>假如a < b < c ,有 于是 j b f (x)dx =j c f (x)dx _ j c f (x)dx a = j f (x)dx + j f (x)dx . <3>假如c < <3>假如c < a < b ,同<2>可证. 由此可知 如图由定积分的几何意义知 ： = jc f (x)dx_ jd f (x)dx+ jb f (x)dx . a c d [性质 4]假如被积函数 f (x) = 1 ,如此 jab dx jab 1dx = b _ a . 证明： j b dx = lim xn f (飞 )编x = lim xn 编x i =1 i =1a ||编||)0 i i i =1 i =1 = lim (b _ a) = b _ a . ||编||)0 [性质 5]假如 f (x) > 0, x =[a,b