双曲线专项练习教师版.docx

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 35 页 双曲线及其方程 一．知识点击 1、双曲线的定义及标准方程 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 2、双曲线的性质 标准方程 图　形 性　　质 范　围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ， ， 渐近线 离心率 ，，其中 实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 二．典型例题 题型一 双曲线的概念 例1.已知两定点，动点P满足，则当a＝3和5时，P点的轨迹为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【解答】解：当a＝3时，根据双曲线的定义可推断出P点的轨迹是双曲线，|PF1|＞|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支． 当a＝5时，方程y2＝0，可知其轨迹与x轴重合，舍去在x轴负半轴上的一段，又因为|PF1|﹣|PF2|＝2a，说明|PF1|＞|PF2|所以应该是起点为（5，0），与x轴重合向x轴正方向延伸的射线， 故选：D． 练习1.已知两定点，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵两定点F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∴|F1F2|＝6， 由双曲线定义得||PF1|﹣|PF2||∈（0，6）， ∴四个选项的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是A． 故选：A． 练习2.已知：，满足条件的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的①2；②﹣1；③4；④﹣3（　　） A．①③ B．①② C．①②④ D．②④ 【解答】解：双曲线中，c＝3，∵2a＜2c＝6，∴|2m﹣1|＜6，∴． 故选：B． 练习3.已知F为双曲线的左焦点，P,Q为双曲线C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则ΔPQF的周长为__________． 【解答】易知双曲线的左焦点为F?5,0， ∴点A5,0是双曲线的右焦点，虚轴长为8 双曲线的图象如图： ∴PF? QF? 而PQ=16 则①+②得PF+ ∴ΔPQF的周长为 故答案为44. 题型二 双曲线的方程 标准方程 例2.已知两定点，曲线C上的点P到的距离之差的绝对值是，则曲线C的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：据双曲线的定义知：P的轨迹是以F1（5，0）， F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为8的双曲线． 所以c＝5，a＝4，b2＝c2﹣a2＝9， 所以双曲线的方程为： 故选：B 练习1.焦点坐标为且实轴长为的双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意考查c＝4，a＝2，∴b2＝16﹣4＝12． ∵双曲线以（﹣4，0）、（4，0）为焦点， ∴双曲线的标准方程是：﹣＝1． 故选：C． 例3.焦点分别为，，且经过点的双曲线方程是________. 【解析】由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程 则，所以所求双曲线的标准方程为 例4.已知双曲线经过点和点，求此双曲线的标准方程． 【解答】解：设所求双曲线的方程为：Ax2+By2＝1（AB＜0），将P，Q点的坐标代入方程得： ， ∴， ∴所求双曲线的方程为：． 练习1.已知双曲线上两点的坐标分别为，求双曲线的标准方程． 【解答】解：设所求双曲线方程为mx2﹣ny2＝1（mn＞0）， ∵P（3，﹣4），P2（，5）两点在双曲线上， ∴， ∴m＝﹣，n＝﹣， ∴双曲线的标准方程为． 例5.已知双曲线的渐近线为：，实轴长为，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D．或 【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，实轴长为4， ∴2a＝4，则a＝2， ∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，b＞0， 此时，解得b＝， ∴双曲线方程为， 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，b＞0， 此时，解得b＝2， 即双曲线的方程为：． 故选：D． 题型三 根据焦点位置求参数范围 例6.双曲线的方程，则k的取值范围是　 　． 【解答】解：双曲线的方程为， 若焦点在x轴上，可得4﹣k＞0，k﹣2＜0，解得k＜2； 若焦点在y轴上，可得4﹣k＜0，k﹣2＞0，解得k＞4． 综上可得k的范围是k＞4或k＜2． 故答案为：k＞4或k＜2． 练习1.如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m