空间向量及其运算专项练习教师版.docx

PAGE PAGE 1 PAGE PAGE 2 空间向量及其线性运算 知识切片 知识点击 模块一 空间向量的概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 零向量 模长为0，方向任意的向量 单位向量 模长为1的向量 例1.给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④若空间向量，，满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①，零向量有方向，是任意的； ②，向量相等，方向相同，大小相等即可； ③，若，则、的方向没定； ④，根据向量相等的条件可判定； ⑤，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定等； 【解答】解：对于①，零向量有方向，是任意的，故错； 对于②，若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，故错； 对于③，若空间向量，满足，则、的方向没定，故错； 对于④，若空间向量，，满足，，则，正确； 对于⑤，空间中任意两个单位向量的模相等．方向没定，向量不一定等，故错； 故选：， 【点评】那么题考查了空间向量的概念及性质，属于基础题． 练习1.给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量，满足，则有③在正方体中，必有④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向； 其中假命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据空间向量，向量相等，零向量等向量的基本概念，逐一分析5个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球，故错误； ②若空间向量，满足，故一定成立，故正确； ③在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确； ④空间中任意两个单位向量模必相等，但方向是否一致不确定，故错误； ⑤零向量方向不确定，但不是没有方向，故错误； 综上可得，综合的命题有3个， 故选：． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间向量的基本概念，难度不大，属于中档题． 模块二 空间向量的加法、减法和数乘向量运算 1.如图，已知两个不平行的向量a，b，作向量＝a，＝b.这时，O，A，B三点不共线，于是这三点确定一个平面． 有以下结论： (1)a＋b＝＋＝＋＝ ； (2)a－b＝a＋(－b)＝＋＝＝＝－ ； (3)当λ>0时，λa＝＝λ ；当λ＝0时，λa＝0；当λ<0时，λa＝＝λ . 2．空间向量的加法、减法和数乘向量运算 (1)加法交换律　a＋b＝b＋a； (2)加法结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律　(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. (4)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变． (5)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量． 例2.（1）如图，平行六面体中，与交于点，设，则　　 A． B． C． D． 【分析】由于，，，代入化简即可得出． 【解答】解：，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （2）如图，在四面体中，设是的中点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先求出则，根据向量的加法运算法则计算即可． 【解答】解：是的中点， ，故选：． 【点评】本题考查了数形结合思想，考查向量的运算性质，是一道基础题． 练习1.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且．用表示向量的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，在△中，由向量加法的三角形法则知，由是的中点， 用表示出，由条件：点是上的点，且，得到， 再用表示向量即可． 【解答】解：连接，在△中，， 是的中点，， 点是上的点，且． ， 故选：． 【点评】本题考查了空间向量及其线性运算，熟练掌握平面向量的三角形加法法则，属于基础题． 例3.在正方体中，给出以下向量表达式： ①； ②； ③； ④． 其中能够化简为向量的是　①②　．（把你认为正确的序号填上） 【分析】利用正方体的性质、向量的三角形法则即可得出． 【解答】解：如图所示， ①； ②； ③； ④． 综上可得：只有①②能够化简为向量． 故答案为：①②． 【点评】本题考查了正方体的性质、向量的三角形法则，属于基础题． 练习1.如图，长方体中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）； （2）； （3）．