离散型随机变量的均值与方差（4类必考点）（北师大版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

专题6.3 离散型随机变量的均值与方差 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h 【基础知识梳理】 1 【考点1：求离散型随机变量的均值】 1 【考点2：均值的性质】 5 【考点3：求离散型随机变量的方差】 7 【考点4：方差的性质】 9 【基础知识梳理】 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq \r(D?X?)为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 【考点1：求离散型随机变量的均值】 【知识点：求离散型随机变量的均值】 1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得?1分，若该局为平局，则两人各得2分． (1)求甲、乙各赢一局的概率； (2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望． 2．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球． (1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率； (2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 3．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）用1、2、3、4个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次. (1)求所有满足条件的六位数的个数； (2)记数字1用到的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 4．（2023·山东临沂·统考一模）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间60,100，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图． (1)若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30% (2)采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在90,100的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件A.记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件B. (1)求PB∣A (2)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 6．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为2 (1)求小陈同学有机会答题的概率； (2)记X为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望. 【考点2：均值的性质】 【知识点：均值的性质】 1．（2022春·江苏常州·高二校考期末）下列说法正确的是（????） A．离散型随机变量的均值是0,1上的一个数 B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 C．若离散型随机变量X的均值E(X)=2，则E(2X+1)=4 D．离散型随机变量X的均值E(X)= 2．（2022春·黑龙江绥化·高二校考期末）设ξ的分布列如表所示，又设η=2ξ+5，则E(η)等于（???????） ξ 1 2