离散型随机变量的均值与方差（4类必考点）（北师大版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

专题6.3 离散型随机变量的均值与方差 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h 【基础知识梳理】 1 【考点1：求离散型随机变量的均值】 1 【考点2：均值的性质】 7 【考点3：求离散型随机变量的方差】 11 【考点4：方差的性质】 16 【基础知识梳理】 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq \r(D?X?)为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． [方法技巧] 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； (4)利用公式求均值或方差. 【考点1：求离散型随机变量的均值】 【知识点：求离散型随机变量的均值】 1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得?1分，若该局为平局，则两人各得2分． (1)求甲、乙各赢一局的概率； (2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望． 【答案】(1)0.36 (2)3.4 【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案； （2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望. 【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36． （2）若甲赢两局，得分6分，PX=6 若甲一赢一平，得分5分，PX=5 若甲平两局，得分4分，PX=4 若甲一赢一输，得分2分，PX=2 若甲一平一输，得分1分，PX=1 若甲输两局，得分?2，PX=?2 故E 2．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球． (1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率； (2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)27 (2)分布列见解析，数学期望E 【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和 “从甲袋中取出1白球投入乙袋” 两个类型，利用组合数和古典概型公式。求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率； （2）白球个数ξ的可能值为0，1，2，3，分别计算相应的概率，列出分布列，用公式求数学期望. 【详解】（1）记“乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个小球中仅1个红球”；“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个球中仅1个红球”， 分别记为事件A1，A2，且A1 则 P(A 又 P(A 所以 P(A)=P(A 则从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率为2756 （2）白球个数ξ的可能值为0，1，2，3. P(ξ=0)=C P(ξ=1)=C P(ξ=2)=C P(ξ=3)= 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 5 39 27 7 所以， E 3．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）用1、2、3、4个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次. (1)求所有满足条件的六位数的个数； (2)记数字1用到的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)1560 (2)分布列见解析，E 【分析】（1）分两种情况讨论：①一个数字用了3次，其余三个数字都只用了1次；②两个数字用了2次，其余两个数字用了1次.利用组合计数原理、倍缩法以及分类加法计数原来可求得满足条件的六位数的个数； （2）分析可知，随机变量ξ的可能取值有1、2、3，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，进一步可求得Eξ 【详解】（1）解：用1、2、3、4四个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次，分成两种情况： ①一个数字用了3次，其余三个数字都只用了1次，满足条件的六位数的