空间向量及其运算专项练习学生版.docx

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 11 页 第 第 PAGE 2 页 共 NUMPAGES 11 页 空间向量及其线性运算 知识点击 模块一 空间向量的概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 零向量 模长为0，方向任意的向量 单位向量 模长为1的向量 例1.给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④若空间向量，，满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 练习1.给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量，满足，则有③在正方体中，必有④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向； 其中假命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 模块二 空间向量的加法、减法和数乘向量运算 1.如图，已知两个不平行的向量a，b，作向量＝a，＝b.这时，O，A，B三点不共线，于是这三点确定一个平面． 有以下结论： (1)a＋b＝＋＝＋＝ ； (2)a－b＝a＋(－b)＝＋＝＝＝－ ； (3)当λ>0时，λa＝＝λ ；当λ＝0时，λa＝0；当λ<0时，λa＝＝λ . 2．空间向量的加法、减法和数乘向量运算 (1)加法交换律　a＋b＝b＋a； (2)加法结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律　(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. (4)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变． (5)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量． 例2.（1）如图，平行六面体中，与交于点，设，则　　 A． B． C． D． （2）如图，在四面体中，设是的中点，则等于　　 A． B． C． D． 练习1.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且．用表示向量的结果是　　 A． B． C． D． 例3.在正方体中，给出以下向量表达式： ①； ②； ③； ④． 其中能够化简为向量的是　　．（把你认为正确的序号填上） 练习1.如图，长方体中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）； （2）； （3）． 模块三 用已知向量表示未知向量 例4.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值： (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 练习1．本例中若＝x＋y＋z，则x，y，z为何值？ 练习2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c.M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量： (1)；(2) . 模块四 向量数量积运算 1.空间向量的夹角 (1)定义及记法 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围和性质 ①范围：0≤〈a，b〉≤π. ②性质：〈a，b〉＝〈b，a〉． 如果〈a，b〉＝90°，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2.空间两个向量的数量积 已知空间两个向量a，b，把平面向量的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的数量积(或内积)． 3．两个空间向量的数量积的性质 (1)a·e＝|a|cos〈a，e〉． (2)a⊥b?a·b＝0. (3)|a|2＝a·a. (4)|a·b|≤|a||b|. 4．两个空间向量的数量积的运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)． (2)a·b＝b·a. (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 例5.如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E、F分别是OA、OC的中点．求下列向量的数量积： (1)·； (2)·； (3)(＋)·(＋)． 练习1.在棱长为1的正四面体中，，分别是，中点，则　　 A．0 B． C． D． 练习2.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： (1)·；　(2)·. 例6.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为　　． 练习1．如图所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长． 练习2.平行六面体ABC