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点到直线的距离
1、两点间距离
平面内两点,,则两点间的距离为:。
2、点到直线的距离
点到直线的距离公式为:
3、两条平行线间的距离
利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线,之间的距离公式:
题型一 两点间距离
例1.在平面直角坐标中,已知,,,平面内的点满足,则点的坐标为 .
【解答】解:设点,由,
得,
化简得,解得,
所以点的坐标为.
故答案为:.
练习1.已知的三个顶点的坐标分别为,,,则这个三角形是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
【解答】解:的三个顶点的坐标分别为,,,
,
,
,
,
是直角三角形.
故选:.
题型二 点到直线距离
例1.若直线过点,倾斜角为,则点到直线的距离为
A. B. C. D.
【解答】解:直线过点,倾斜角为,故直线的斜率为,
故直线的方程为,即.
则点到直线的距离为,
故选:.
练习1.点到直线距离的最大值为
A.1 B. C. D.2
【解答】解:因为点到直线距离;
要求距离的最大值,故需;
可得;当时等号成立;
故选:.
例2.已知点到直线的距离为,则的值为
A.3 B.1 C. D.1或
【解答】解:依题意,,
即,
解得或,
故选:.
练习1.已知点到直线的距离等于1,则实数等于
A. B. C. D.
【解答】解:根据题意,点到直线的距离等于1,
则有,解可得;
故选:
例3.已知在的顶点、、.
(1)求的面积;
(2)的平分线所在直线的方程.
【解答】解:(1),直线的方程为,化为,
点到直线的距离.
又.
;
(2)解:设平分线上的任意一点,
又顶点、、,
直线方程为:,
直线的方程为:,
点到直线距离等于点到直线距离,,
解得(舍去)或.
角平分线所在直线方程为:.
练习1.在平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)在中,求边上的高线所在的直线方程;
(2)求的面积.
【解答】解:(1)直线的斜率.
边上的高线斜率,
边上的高线方程为:,
边上的高线所在的直线方程为.
(2),,
,
由,得直线的方程为:.
到直线的距离,
的面积.
题型三 平行直线间的距离
例1.已知直线与平行,则 ,与之间的距离为
【解答】解:直线与平行,
则,解得,
直线;
则与之间的距离为.
故答案为:,.
练习1已知直线,直线,若直线,则直线与直线之间的距离是
A. B. C. D.
【解答】解:由,直线,且,
得,解得:.
直线化为:.
又直线,即.
直线与直线之间的距离是.
故选:.
练习2.与直线平行,且距离为的直线方程是
A. B.
C.或 D.或
【解答】解:与直线平行的直线设为,,
由题意可得,
解得或,
则所求直线的方程为或.
例2.已知两条平行直线和之间的距离等于2,则实数的值为
A. B.4 C.4或 D.
【解答】解:由已知可得:,解得,或.
故选:.
练习1.若两条平行直线与之间的距离为,则的值为
A.11或 B.或 C.12或 D.或
【解答】解:两条平行直线与,
可得,即两直线,,
两平行直线的距离为,
可得,
解得或,
故选:.
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