空间向量在立体几何中的应用专项练习教师版.docx

PAGE PAGE 10 PAGE PAGE 10 空间向量的应用 一 知识切片 二．知识点击 模块一 利用空间向量证明平行、垂直 1.用向量方法证明空间平行关系的方法 线线 平行 设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)． 线面平行 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示即可． 面面 平行 (1)转化为相应的线线平行或线面平行． (2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β. 2.利用空间向量证明垂直问题 线线垂直：利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量． 线面垂直：利用向量法证明线面垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直于平面中的两条相交直线所在的方向向量，即证明它们的方向向量的数量积为0. 面面垂直：α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0. 题型一 利用空间向量证明平行问题 例1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 【精彩点拨】　建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解． 【自主解答】　(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以eq \o(FC1,\s\up6(→))＝(0,2,1)，eq \o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq \o(AE,\s\up6(→))＝(0,2,1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥eq \o(DA,\s\up6(→))，n1⊥eq \o(AE,\s\up6(→))， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up6(→))＝2x1＝0，,n1·\o(AE,\s\up6(→))＝2y1＋z1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝0，,z1＝－2y1.)) 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 因为eq \o(FC1,\s\up6(→))·n1＝－2＋2＝0，所以eq \o(FC1,\s\up6(→))⊥n1. 又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE. (2)∵eq \o(C1B1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥eq \o(FC1,\s\up6(→))，n2⊥eq \o(C1B1,\s\up6(→))， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n2·\o(FC1,\s\up6(→))＝2y2＋z2＝0，,n2·\o(C1B1,\s\up6(→))＝2x2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝0，,z2＝－2y2.)) 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 练习1.　如图3-2-5，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面OC1D. 图3-2-5 【精彩点拨】　证明线面平行，可用平面内的一组基底表示直线，然后证明直线不在平面内． 【自主解答】　设eq \o(DA,\s\up6(→))＝a，eq \o(DC,\s\up6(→))＝b，eq \o(DD1,\s\up6(→))＝c， 则eq \o(CB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq \o(DC1,\s\up6(→))＝b＋c，eq \o(DO,\s\up6(→))＝eq \o(DD1,\s\up6(→))＋eq \o(D1O,\s\up6(→))＝c＋eq \f(1,2)(a＋b)． 设存在实数x，y，使得eq \o(CB1,\s\up6(→))＝xeq \o(DC1,\s\up6(→))＋yeq \o(D