利用导数比较大小或解不等式（6类必考点）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

专题5.4 利用导数比较大小或解不等式 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h 【知识梳理】 1 【考点1：f′(x)>g′(x)→F(x)＝f(x)-g(x)】 1 【考点2：xf′(x)+f(x)→[xf(x)]′】 3 【考点3：xf′(x)-f(x)→eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,x)))′】 7 【考点4：f′(x)+f(x)→[exf(x)]′】 11 【考点5：f′(x)-f(x)→eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,ex)))′】 12 【考点6：cosxf(x)+f′(x)sinx→[f(x)sinx]′】 16 【知识梳理】 【方法技巧】 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)→； (2)→； (3)→； (4)→； (5)→； (6)→；(可推导其他与三角函数结合的形式的构造) 【考点1：f′(x)>g′(x)→F(x)＝f(x)-g(x)】 【知识点：f′(x)>g′(x)→F(x)＝f(x)-g(x)】 1．（2023·全国·高三专题练习）设函数fx，gx在R上的导函数存在，且f′x< A．fx<gx C．fx+ga 【答案】C 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数?x=fx?gx 【详解】对于AB，不妨设fx=?2x，gx=1，则 若x=?1∈a,b，则f 若x=0∈a,b，则f 对于CD，因为fx，gx在R上的导函数存在，且 令?x=fx 所以?x在R 因为x∈a,b，即a<x<b，所以? 由?x<?a得f 由?b<?x得f 故选：C. 2．（2020秋·江苏盐城·高三盐城中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对任意x∈R都有f′(x)>2， A．(?∞,1) B．(1,+∞) C．(0,+∞) D．(?∞,0) 【答案】B 【分析】先构造函数g(x)=f(x)?2x?1，求导得到g(x)在R上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集. 【详解】构造函数g(x)=f(x)?2x?1， ∵f(1)=3， ∴g(1)=f(1)?2x?1=0. 又∵任意x∈R都有f′(x)>2.∴ g′(x)=f′(x)?2>0在R上恒成立. ∴ g(x)在R上单调递增.∴当g(x)>g(1)时，有x>1，即f(x)?2x?1>0的解集为 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键. 3．（2018春·重庆江津·高二重庆市江津中学校阶段练习）函数fx的定义域为R，f?2=2018，对任意的x∈R，都有f A．?2,+∞ B．2,2 C．?∞,2 D．R 【答案】A 【详解】分析：根据题意，构造函数gx=fx?x2?2014，对其求导可得函数g 详解：根据题意，构造函数gx 则g' ∴函数gx 又∵ f ∴ g ∴不等式fx<x ∴ x>?2， 即不等式fx<x 故选A. 点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论． 4．（2023·全国·高三专题练习）设fx、gx是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′x A．fxgx C．fxga 【答案】B 【分析】构造函数F(x)=f(x)g(x)，再根据f′xg 【详解】设F(x)=f(x)g(x)，则F′(x)=f′(x)g(x)?f(x)g′(x)g2(x)，由f 故选：B 【点睛】本题为构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数单调性比较大小或解不等式典型考题，属于中档题. 【考点2：xf′(x)+f(x)→[xf(x)]′】 【知识点：xf′(x)+f(x)→[xf(x)]′】 1．（2015秋·宁夏银川·高三阶段练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数，（>），则 下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：令g(x)=xf(x)，∴g'(x)=xf'(x)+f(x)>0恒成立，∴g(x)在R上单调递增． ∵a>b，∴g(a)>g(b)．即af(a)>bf(b)．故A正确． 考点：用导数研究函数的单调性． 2．（2017春·四川成都·高二校考期中）已知y=fx是定义在R上的偶函数，且当x∈?∞,0,fx+xf′x<0 成立（f′x A．a>b>c B