推理与证明、复数§13 (4).DOCVIP

§13.4　数学归纳法 2014高考会这样考　1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力． 复习备考要这样做　1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [难点正本　疑点清源] 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1． 凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________. 答案　π 解析　易得f(k＋1)＝f(k)＋π. 2． 用数学归纳法证明：“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)<n (n>1)”，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________． 答案　2k 解析　n＝k时，左边＝1＋eq \f(1,2)＋…＋eq \f(1,2k－1)， 当n＝k＋1时， 左边＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－1). 所以左边应增加的项的项数为2k. 3． 用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq \f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是 (　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 解析　观察等式左边的特征易知选C. 4． 已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…－eq \f(1,n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 (　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B. 5． 已知f(n)＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n2)，则 (　　) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3) B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3) D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) 答案　D 解析　从n到n2共有n2－n＋1个数， 所以f(n)中共有n2－n＋1项. 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　已知n∈N*，证明：1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n). 思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，末项与n有关，右边的分母是从n＋1到n＋n的连续正整数，首、末项都与n有关． 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， 右边＝eq \f(1,2)，等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即 1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2k－1)－eq \f(1,2k) ＝eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,2k)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(