高二数学教案-空间向量及其运算.docVIP

空间向量及其运算 ●考试目标 主词填空 1.空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c. 2.向量的直角坐标运算： 设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). 则a+b= . a-b= . a·b=. 若a、b为两非零向量，则a⊥ba·b=0 =0.  ●题型示例 点津归纳 已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC= ∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是 MN的中点. 求证：OG⊥BC. 例1题图【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明即可. 例1题图 而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量. 【规范解答】 连ON由线段中点公式得： 又, 所以) =(). 因为. 且，∠AOB=∠AOC. 所以=0,即OG⊥BC. 【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力. 【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 【解前点津】 利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 【规范解答】 因为, 所以 = 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图 所以=0, =-a2. 所以=-a2. 又 所以〈〉=120°. 所以异面直线BA1与AC所成的角为60°． 【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示. 【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分 别是BB1、DC的中点. (1)求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F. 【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且=e1， 例3图=e2，=e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz, 例3图 则：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，，0)，D1(0，0，1)， 所以 =(0,1,), =(0, ,-1). 所以·=(0,1),·(0, ,-1)=0. 所以⊥，即AE与D1F所成的角为90°． (2)又=(1,0,0)=， 且·=(1,0,0)·(0,1,)=0. 所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1. 所以AE⊥平面A1D1F. 【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法. 【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心). 【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点, ∴EG,同理HF，∴EGHF . 从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF, GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ. 只要能证明向量=-就可以说明P,O,Q三点共线且O 为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图 ∴CD,QHCD, ∴ ∴==0. ∴=,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点. 【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( ) A. B. C. D. 2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( ) A. B. C. D. 3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( ) A.a B.b  C. c D.2a 4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( ) A.(0，) B.［0，］ C.(0，π) D.［0，π］ 5.若a与b是垂直的，则a·b的值是( ) A.大于0 B.等于零 C.小于0 D.不能确定 6.向量a＝(1，2，-2