44第四节数系的扩充与复数的引入练习题.docx

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第四节 数系的扩充与复数的引入

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2014·泉州质检)若复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是( )

z＝－1－iC．|z|＝2

z＝－1＋iD．|z|＝

2解析 z＝1－i，|z|＝ 1＋1＝2.选D.

2

答案 D

a＋3i

2．若复数 (a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值

1＋2i

为( )

－2C．－6

B．4D．6

a＋3i ?a＋3i??1－2i? a＋6 3－2a

解析 1＋2i＝?1＋2i??1－2i?＝5 ＋ 5 i，

a＋3i a＋6 3－2a

5 5∵ 是纯虚数，∴ ＝0且 ≠0，

5 5

1＋2i

∴a＝－6.

答案 C

3．已知复数z＝1－3i，z＝2 3－2i，则z ·z 等于( )

1 2 1 2

A．8C．8i

－8D．－8i

解析 ∵z1＝1＋3i，z2＝2 3＋2i，

∴z1·z2＝(1＋3i)(2 3＋2i)＝2 3＋2 3i2＋6i＋2i＝8i.

答案 C

4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )

－1＋iC．1＋i

－1－iD．1－i

2i 2i?1＋i?

? ?? ?解析 由题意得z＝ ＝ ＝－1＋i，故选

? ?? ?

1－i 1－i 1＋i

答案 A

5．(2013·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )

2＋iC．5＋i

2－iD．5－i

5

5?2＋i?

? ?? ?解析 由(z－3)(2－i)＝5得z＝ ＋3＝ ＋3＝5＋

? ?? ?

2－i 2－i 2＋i

z＝5－i，故选D.

答案 D

6．(2013·陕西卷)设z，z 是复数，则下列命题中的假命题是( )

1 2

若|z－z|＝0，则z ＝z

1 2 1 2

若z＝z ，则z ＝z

1 2 1 2

若|z|＝|z|，则z·z ＝z·z

1 2 1 1 2 2

若|z

|＝|z|，则z2＝z2

1 2 1 2

解析 |z－z|＝0得z＝z，必有z ＝z ，故A正确．z＝z ，

1 2 1 2 1 2 1 2

令z＝a＋bi，则z ＝a＋bi，则z＝a－bi，而z ＝a－bi，故有z＝z

1 2 2 1 2

，故B正确．由|z|＝|z

|，令z＝a＋bi，z

＝a＋bi得a2＋b2＝a2＋

1 1 2

1 1 1

2 2 2

1 1 2

b2，此时z

＝a－b

i，z

＝a－b

i，则z

z ＝a2＋b2，z

z ＝a2＋b2，

2 1 1 1

2 2 2

1 1 1

1 2 2 2 2

z z z z所以有 ＝ ，故C正确，故选D.

z z z z

11 2 2

答案 D

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．(2014·深圳模拟)若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是 ．

解析 (a＋i)2＝a2－1＋2ai，由题意知a2－1＝0且2a<0，即a＝

－1.

答案 －1

8．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2013＝ .

解析 ∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，

∴i＋i2＋i3＋…＋i2013＝i.

答案 i

9．(2013·重庆卷)已知复数 z＝

.

5i1＋2i

(i 是虚数单位)，则|z|＝

5i

解析 ∵z＝ ＝

5i?1－2i?

1＋2i ?1＋2i??1－2i?

10＋5i

＝ 5 ＝2＋i，∴|z|＝5.

5答案

5

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)3 2

10．复数z1＝ ＋(10－a2)i，z2＝ ＋(2a－5)i，若z1＋z2

a＋5 1－a

是实数，求实数a的值．

3 2

解 z1＋z＝ ＋(a2－10)i＋ ＋(2a－5)i

2 a＋5 1－a

＋? 3 2 ?

＋

＝ ＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

?a＋5 1－a?

? ?

a－13

＝?a＋5??a－1?＋(a2＋2a－15)i.

∵z ＋z是实数，

1 2

∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.

∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.

11．复数z＝1＋2i，z＝－2＋i，z＝－1－2i，它们在复平面上

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