nn阶复矩阵的矩阵特征值.docx

nn阶复矩阵的矩阵特征值 资源值是矩阵理论中一个非常热门的研究领域。矩阵的资源值越来越受相关领域的科学家的影响（见文献）。在本文中，假设cnn是nn的复矩阵的集合，（a）是矩阵a的资源值的全部形式，如下所示。 Ri=√n∑j=1j≠i|aij|2Ηi=n∑j=1j≠i|aij|i=1?2???n 引理1设A=(aij)n×n∈Cn×n, 则A的所有特征值都位于n个圆盘的并中, 即 λ(A)?G(A)=n∪i=1{z∈C∶|z-aii|≤√n-1Ri} 定理1设A=(aij)n×n∈Cn×n, 则A的所有特征值都位于n(n-1)2个卵形区域的并中, 即 λ(A)?G(A)=n∪i?j=1i≠j{z∈C∶|z-aii||z-ajj|≤(n-1)RiRj} 证设λ是矩阵A的特征值, 则AX=λX, 其中X=(x1,x2, …,xn)T∈Cn×1是相应的特征向量. 那么X的一个元素有最大绝对值, 设为xs, 则|xs|≥|xi|(i=1?2???n), 显然|xs|≠0. 如果X的其它所有分量都是零, 那么λ=ass, 定理1成立. 现在假设X至少有两个非零元, 设为xs≠0和xt≠0, 它们的绝对值满足|xs|≥|xt|≥|xi|(s≠t?i=1?2???n). 由引理1有 |λ-ass|=|∑j≠sasjxjˉxs|xs|2|≤√∑j≠s|asj|2?√∑j≠s|xj|xs||2|ˉxs|xs||2≤√(n-1)∑j≠s|asj|2|xtxs|=√n-1Rs|xtxs|(1) 同时, 我们有 |λ-att|=|∑j≠tatjxjˉxt|xt|2|≤√∑j≠t|atj|2?√∑j≠t|xj|xt||2|ˉxt|xt||2≤√(n-1)∑j≠t|atj|2|xsxt|=√n-1Rt|xsxt|(2) 由(1)式和(2)式有 |λ-ass||λ-att|≤√n-1Rs|xtxs|?√n-1Rt|xsxt|=(n-1)RsRt 因此,λ(A)是G(A)的子集. 定理2设A=(aij)n×n∈Cn×n,β∈[0, 1]是给定的常数. 则A的所有特征值都位于n个圆盘的并中, 即 λ(A)?G(A)=n∪i=1{z∈C∶|z-aii|≤(n-1)1-β2ΗβiR1-βi} 证当β=0或β=1时, 由Gerschgorin定理和引理1知定理2成立, 所以我们只考虑β∈(0, 1)的情况. 假设Ηi=n∑j=1j≠i|aij|>0, 因为我们可以在Ηi=n∑j=1j≠i|aij|=0的对应矩阵A的任一行加上一个小的非零元ε, 使矩阵A产生扰动, 所得到的包含区域大于A的包含区域, 于是当ε→0时, 可得定理2成立. 设λ是矩阵A的任一特征值,X=(x1,x1, …,xn)T∈Cn×1是相应的特征向量, 且X有一个元素有最大的绝对值. 因为AX=λX, 所以n∑j=1aijxj=λxi. 令|xi|≥|xj|(i≠j?i,j=1?2???n), 得|xi|>0, 于是 |λ-aii||xi|=|n∑j=1j≠iaijxj|≤n∑j=1j≠i|aij||xj|=n∑j=1j≠i|aij|β(|aij|1-β|xj|) 令s=1β?t=11-β, 则1s+1t=1, 于是由H?lder不等式, 我们有 |λ-aii||xi|≤[n∑j=1j≠i(|aij|β)1β]β[n∑j=1j≠i(|aij|1-β|xj|)11-β]1-β=Ηβi[n∑j=1j≠i(|aij|1-β|xj|)11-β]1-β(3) 因为Hi>0, 所以, 由(3)式有 |λ-aii||xi|Ηβi≤[n∑j=1j≠i(|aij|1-β|xj|)11-β]1-β 所以 (|λ-aii|Ηβi)11-β|xi|11-β≤n∑j=1j≠i|aij||xj|11-β 由Cauchy-Schwarz不等式, 得 (|λ-aii|Ηβi)11-β|xi|11-β≤n∑j=1j≠i|aij||xj|11-β≤√n∑j=1j≠i|aij|2√n∑j=1j≠i|xj|21-β 因为|xi|≥|xj|(i≠j?i,j=1?2???n), 所以 (|λ-aii|Ηβi)11-β|xi|11-β≤n∑j=1j≠i|aij||xj|11-β≤√n∑j=1j≠i|aij|2?√n-1|xi|11-β 于是 (|λ-aii|Ηβi)11-β≤√(n-1)n∑j=1j≠i|aij|2=√n-1Ri(4) 因而, 对于某个i, 由(4)式可得|λ-aii|≤(n-1)1-β2ΗβiR1-βi, 即λ位于以aii为中心,(n-1)1-β2ΗβiR1-βi为半径的圆盘中. 因为不知道i与特征值的对应关系, 所以λ位于所有这些圆盘的并中, 即 λ(A)?G(A)=n∪i=1{z∈C∶|z-aii|≤(n-1)1-β2Η