重视思维推理，倡导反思拓展-《数学教学通讯·初中版》(2022年8期).docx

龙源版权所有 重视思维推理，倡导反思拓展作者：王剑来源：《数学教学通讯·初中版》2022年第08期 [摘 要] 抛物线与直线综合题型常作为压轴题在中考中出现，该类问题往往条件信息众多，数形结合紧密. 问题突破建议深入分析问题条件的特点，立足知识考点开展思路突破. 同时注重解后反思，全面认识问题，强化解题方法. 文章以2021年连云港市的中考抛物线压轴题为例，开展解题探究，并提出了相应的教学建议. [关键词] 抛物线;几何;面积;角度;拓展;转化 考题呈现，问题解读 考题 （2021年江苏省连云港市中考卷第26题）如图1所示，抛物线y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知B（3，0）. （1）求m的值和直线BC对应的函数解析式; （2）P是抛物线上的一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标; （3）Q为抛物线上的一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标. 解读 本考题以抛物线与直线相交为背景，设定了抛物线与坐标轴的三个交点，第（1）问探求m的值和函数解析式，实则考查待定系数法;第（2）问和第（3）问则设定了抛物线上的点，构建了三角形和45°角，属于函数与几何的结合，实则考查学生在函数曲线中构建几何模型. 问题的综合性极强，对学生的逻辑推理、模型构建、转化运算能力有着较高的要求. 思维推理，过程突破 问题突破需要把握关键点，定位考点，结合知识点来构建模型，转化条件，准确运算，下面笔者逐问探究. 突破1：待定系数法求解析式 求抛物线解析式中的参数及直线BC的函数解析式的核心解法是待定系数法，因为抛物线的解析式为一般式，所以可以直接代入点的坐标求参数. 将点B（3，0）代入y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）中，化简后可得m2+m=0，解得m=-1或m=0（舍去），所以抛物线的解析式为y=-x2+4x-3. 因为C为抛物线与y轴的交点，所以C（0，-3）. 设直线BC对应的函数解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标分别代入，可得3k+b=0， b=-3，可解得k=1， b=-3，所以直线BC对应的函数解析式为y=x-3. 突破2：等面积转化求坐标 该问设定P为抛物线上的点，求S△PBC =S△ABC时点P的坐标，而△ABC的三个顶点均为定点，故为固定的三角形，可直接结合面积公式来分析. 可将△ABC视为是以BC为底边，A为顶点的三角形，而△PBC为以BC为底边，P为顶点的三角形，则只需满足点P到直线BC的距离等于点A到直线BC的距离即可. 从几何视角来突破，利用“平行线之间的距离相等”来确定点P所在直线，有两种情形. 情形①为直线PA与直线BC相平行，此时点P位于直线BC的上方;情形②为点P所在直线与情形①中的直线PA关于直线BC对称，此时点P所在直线在BC的下方. 下面笔者结合几何知识求点P的坐标. 情形①——点P位于直线BC的上方 该情形为图2所示的直线P1A，设直线P1A的解析式为y=kx+b. 若P1A∥BC，则两直线解析式的k相等，即k=1. 由抛物线的解析式可知点A（1，0），B（3，0），将点A代入y=x+b中，可得y=x-1，联立直线与抛物线的解析式，可得点P1（2，1）. 情形②——点P位于直线BC的下方 该情形下点P所在直线应与抛物线有两个交点，如图2所示的点P2和P3，同理可知直线P2P3与BC平行，解析式中k=1. 对于其中的对称关系，可通过直线平移来实现，即直线P1A向下平移线段DC得到直线BC，再平移等长线段得到直线P2P3，故可推知CD=CE. 其中点D（0，-1），点C（0，-3），则CD=CE=2，所以点E的···试读结束