透视“最短路径”，探索思路突破-《数学教学通讯·初中版》(2022年8期).docx

龙源版权所有 透视“最短路径”，探索思路突破作者：王律奇来源：《数学教学通讯·初中版》2022年第08期 [摘 要] “蚂蚁爬行最短路径”是中考的常考题型，问题将三视图与空间几何相结合，考查空间转化和实际应用. “两点之间，线段最短”是破题的核心定理，解题时需要在展开图形中构建直角三角形，利用勾股定理来求线段长. 文章结合2021年南京市的中考压轴题，开展解题探究，并进一步总结拓展. [关键词] 几何;最短路径;展开;旋转体 “蚂蚁爬行最短路径”在中考中时有出现，该类问题将几何体与平面图形有机结合，实现了简单的空间转化，可考查三视图、平面几何相关知识以及思维转化能力，下面进行具体探究. 考题呈现，背景揭示 1. 考題呈现 考题 （2021年江苏省南京市中考数学卷第27题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ （1）如图1所示，圆锥的母线长为12 cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4π cm. 在图2所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）. （2）如图3所示，该几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成. O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上. 设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h. ①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）. ②设的长为a，点B在母线OC上，OB=b. 圆柱的侧面展开图如图4所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路. 2. 背景揭示 本题目中蚂蚁从几何体的某一点出发，沿着表面爬行到另一点，求最短路径，属于典型的“几何体表面线段最值”问题. 问题突破需要学生具备较强的空间想象能力，以及良好的学科素养. 对于蚂蚁在几何体表面爬行问题，学生解析时通常需将几何体展开成平面，然后运用勾股定理来计算最短路程，即利用“化曲为平”“化折为直”的思想来解决. 需要注意的是，几何平面展开的方式有多种，不同方式可形成不同的爬行路径，故需要理性思考、操作实践、分类总结，才可以确定方案，形成策略. 同时要注重数形结合的解题思想，深刻理解“两点之间，线段最短”原理的内涵. 考题分析，思路突破 上述探究几何体表面蚂蚁爬行中的最短路径，最显著的特点是涉及了圆锥体，其表面展开为扇形，必然含有圆弧，问题解析需要学生掌握圆弧的相关知识，下面进行具体探究. 1. 初探第（1）问 该问中的几何体为单圆锥，题干中直接呈现了圆锥展开的平面图——扇形，需要构建几何体与平面之间的关联. 求由点A爬行到点B的距离，根据“两点之间，线段最短”可知在平面图中就为线段AB的长. 连接OA，AC，如图5所示. 设∠AOC=n°，由于圆锥的母线长为12 cm，的长为4π cm，由弧长公式可得=4π，解得n=60. 因为OA=OC=12，所以△OAC为等边三角形. B是母线OC上的中点，由“三线合一”可知AB⊥OC. 在Rt△ABO中，AB=OA·sin60°=6. 评析 上述题设较为简单，只需建立几何体表面与平面图形之间的关联，利用对应定理即可确定最短距离. 本质上为简单的平面几何问题，突破的关键是分析△ACO的特性. 2. 深探第（2）问 该问设定几何体为圆锥和圆柱的组合，需要注意两点：一是两几何体展开后的平面图形，即圆锥展开为扇形，而圆柱展开为长方形;二是平面图形之间的关联，扇形的圆弧长=长方形的一边长. 探究几何体表面两点之间的距离，体现在平面中即为两点之间的距离. ①该问求点A到点O的最短距离，其中A为圆柱体底面圆周上一点，O为圆锥的顶点，观察可知最短路径为：先沿着过点A且垂足于底面···试读结束