问题背景探索，示例突破思考-《数学教学通讯·初中版》(2022年8期).docx

龙源版权所有 问题背景探索，示例突破思考作者：章珣来源：《数学教学通讯·初中版》2022年第08期 [摘 要] 抛物线与几何综合题是中考重难点题型，问题兼具“数”与“形”双重特性. 对于其中与几何面积结合紧密的问题，要立足面积公式，通过数形结合来转化条件，构建模型. 文章分析了该类问题的知识背景，结合实例具体探究，并开展解后反思，提出相应的教学建议. [关键词] 抛物线;三角形;面积;平移转化;模型 背景探索 抛物线与几何图形结合是常见的命题形式，是“数”与“形”融合的典型代表，问题的知识点覆盖广，涉及函数与图像、几何图形的性质特征. 抛物线与几何综合题的构建形式多样，主要以抛物线与直线相交为基础，依托交点构建几何图形，设问形式有求交点坐标，分析图形周长，探究图形面积等. 其中以三角形的属性问题尤为常见，也是抛物线与几何结合的考查核心. 问题突破需要采用数形结合法，以点坐标为关联纽带，通过构建模型将周长和面积问题转化为与线段长或关于点坐标参数的问题. 探究示例 2021年江苏省扬州市的函数压轴题为抛物线与几何的综合，依托交点构建了三角形，问题条件与三角形的面积密切相关，下面笔者进行深入探究. 考题：（2021年江苏省扬州市中考卷第26题）如图1所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C. （1）b=________，c=________; （2）若点D在该二次函数的图像上，且S△ABD=2S△ABC，试求点D的坐标; （3）若P是该二次函数图像上位于x轴上的一点，且S△APC=S△APB，直接写出点P的坐标. 突破第（1）问——待定系数法 该问求二次函数的特征参数，采用待定系数法即可. 已知抛物线上A和B的坐标，将点坐标代入解析式中，可得1-b+c=0， 9+3b+c=0，解得b=-2， c=-3. 另解，抛物线与x轴的交点为A和B，根据方程根与x轴交点坐标的关系，可直接将二次函数解析式表示为y=（x+1）（x-3），整理后可得y=x2-2x-3，显然b=-2，c=-3. 突破第（2）问——构建面积模型 该问设定点D在二次函数的图像上，条件“S△ABD=2S△ABC”涉及两个三角形的面积关系，其中△ABC为定三角形，其面积可求，故可通过设点D的坐标，构建关于△ABD面积的方程，将问题转化为关于点坐标参数的方程，解方程即可. 连接BC，如图2所示，由二次函數解析式可求点C（0，-3），则△ABC的面积为S△ABC=×4×3=6，可推得S△ABD=12. 点D位于抛物线上，可设其坐标为（m，m2-2m-3）. 将△ABD视为是以AB为底，D为顶点的三角形，则可将其面积表示为S△ABD=×AB×h，其中h表示点D到AB边的距离，AB=4，所以可将其面积进一步表示为S△ABD=×4×m2-2m-3，则×4×m2-2m-3=12，从而可解得m=1+或m=1-. 当m=1+时，D1（1+，6）;当m=1-时，D2（1-，6）. 突破第（3）问——平行转化建模 该问设定点P在二次函数的图像上，条件“S△APC=S△APB”同样涉及两个三角形的面积关系，属于等面积问题. 不过这两个三角形均含有不确定点P，故无法直接求出其面积. 分析时可将两个三角形视为同底三角形，即△APC和△APB有共同的底AP，结合三角形的面积公式可知，只需确保点B和点C到AP所在直线的距离相等即可. 下面具体推导问题的转化思路，并分析点坐标的位置. 问题转化：“S△APC=S△APB”→点B和C到AP的距离相等→BC∥AP. 位置分析：BC∥AP→点P位于抛物线x轴的上方. 根据上述分析，可知点P位于x轴的上方，可设点P（n，n2-2n-3），故n2-2n-3>0，可解得n<-···试读结束