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椭圆及其方程
一.知识切片
二.知识点击
椭圆的定义:把平面内与两个定点的距离之和等于常数2a(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
其中,焦点:定点,焦距:=2c
符号语言:.
注意事项:当时,点的轨迹是椭圆;
当时,点的轨迹是线段;
当时,点的轨迹不存在。
2.椭圆的标准方程及其性质
标准方程
图形
性质
范围
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点坐标
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
a,b,c的关系
a2=b2+c2
3.椭圆的一般方程
为椭圆的一般方程,其中
注意:求椭圆方程时可以将方程设为。
4.共焦点的椭圆系方程
.与椭圆有公共焦点的椭圆方程为;
.与椭圆有公共焦点的椭圆方程为.
5.相同离心率的椭圆系方程
与椭圆有相同离心率的椭圆方程为或
模块1 椭圆的定义及应用
例1.已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹正确的说法是 .
①点P的轨迹一定是椭圆;
②2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;
③2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;
④点P的轨迹一定存在;
⑤点P的轨迹不一定存在.
练习1.下列命题是真命题的是
①.平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足|PA|+|PB|=6,则点P的轨迹是椭圆;
②.已知,动点M满足|MF1|+|MF2|=5,则点M的轨迹是椭圆;
③.设定点动点P满足条件,则点P的轨迹为椭圆;
练习2.(多选)下列命题是真命题的是
A.已知定点,则满足的点P的轨迹是椭圆;
B.已知定点,则满足的点P的轨迹是线段;
C.到定点距离相等的点的轨迹为椭圆;
D.若点P到定点的距离的和等于点到定点的距离的和,则点P的轨迹为椭圆。
例2.已知动点满足,则动点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.线段 C.抛物线 D.椭圆
练习1.已知动点P满足方程则动点P的轨迹方程是
A. B. C. D.
例3.如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于E,则点E的轨迹是( )
圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
练习1.已知定点,点在圆上运动,为圆心,线段的垂直平分线交于点,则动点的轨迹的方程为 .
模块二 求椭圆的标准方程
已知两定点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则动点P的轨迹方程是 .
练习1.已知的周长为20,且顶点 , ,则顶点的轨迹方程是
A. B. C. D.
(1)已知椭圆C的右焦点为,并且经过点,求椭圆C的标准方程.
(2)已知某椭圆过点,,求该椭圆的标准方程.
练习1.(1).已知某椭圆的左右焦点分别为,,且经过点,求该椭圆的标准方程;
(2).求经过两点的椭圆的标准方程.
例3.根据下列条件,写出椭圆方程:中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为、长轴长为8.
练习1.椭圆的两焦点为,,离心率,焦点到椭圆上点的最短距离为,求椭圆的方程.
练习2.已知椭圆的焦点为,,是椭圆上一点.若椭圆的离心率为,且,△的面积为,则椭圆的方程为
A. B. C. D.
例4.(1)求满足下列条件的椭圆的标准方程:过点,且与椭圆有相同的焦点.
(2)求经过点,且与椭圆有共同离心率的椭圆方程.
练习1.(1)求经过点,且与椭圆有共同焦点的椭圆方程;
(2)求经过点,且与椭圆有共同离心率的椭圆方程.
模块三 椭圆几何性质
题型一 求参数取值范围
根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,首先把椭圆方程转化为标准形式,然后列不等式组求解,通常考虑两点:
①含项对应的分母都大于0;
②焦点在x轴上含项的分母大;焦点在y轴上含项的分母大
若焦点位置不确定,需要分类讨论。
例1.若方程表示椭圆,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
练习1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A.m>2或 B.
C. D.m>2或
练习2.a<b是曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆的( )条件.
充分必要 B.充分不必要 C.必要不充分 D既不充分也不必要
题型二 焦点三角形
P为椭圆上异于长轴端点的点,则P和两焦点构成的三角形称为椭圆的焦点三角形。
椭圆的焦点三角形中常用的关系式:
的周长;
设,则,当
在处理椭圆中焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义整体代换求解及三角形中有关正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求解。
例1.已知F1,F2是椭圆的两个焦
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