高中数学 导数专项 第24讲 导数中的切线放缩.docx

第24讲 切线放缩 一、问题综述 在解决函数与导数综合题目时，很多题目不是单一的考察函数性质，而往往是多个不同的初等函数构成的复合函数，在解决这类复杂函数求范围和最值时，有时求导会很麻烦，利用切线进行适当的放缩，可化繁为简，化难为易，起到意想不到的效果．下面就切线在导数中的应用做以归纳和总结． 根据课本习题的结论： ，． 将所给式子放缩成整式结构，方便于接下来的讨论． 常见切线： （1）与相切，切点为． ，即． 所以可得与相切，切点为． （2）与相切，切点为． （3）又，所以可得与相切，切点为． 经常用到的放缩：，，． 二、典例分析 类型一：由引出的放缩 【例1】已知函数若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】利用． 由于 注意：此时须说明有解． 【例2】已知函数， （1）若直线为的切线，求的值； （2）若对，恒有，求的取值范围． 【解析】（1）设切点为， 故此时， 解得． 由（结合第一问也能看出来，但需要证明），可得即 【方法小结】例题1和例题2该类题目特点非常明显，这类的模拟题也非常的多，大致有两种形式变换：和放缩之后得到一个一次不等式恒成立，求参数范围，当然，有时候也会考察等号成立的条件． 类型二：由引出的放缩 【例3】（2010全国Ⅰ卷）已知函数 ． （Ⅰ）若 ，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： ． 【解析】（Ⅰ）， ， 题设等价于． 令，则． 当，；当时，，是的最大值点， 综上，的取值范围是． （Ⅱ）思路一：证明的最小值大于等于零，思路很简单，但操作起来很难． 思路二：令， 令，则， 所以单调递增，又， 所以时，，，即 ； 时，，，即 ． 思路三： ，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 从而，是的最小值点，． 所以函数在上单调递增，又， 所以时，，；时，， ． 思路四:（由课本习题常用关系式，（Ⅰ）也证明过的） 由（Ⅰ）知，即． 当时，； 当时， 法一：可证明． ，在上递增． 法二：（变形，套用） 【方法小结】纵观本题的几种思路，思路二和思路三比较常规，也是解决乘积与常见的思路，学生易于想到，思路四根据式子的特征，灵活的变形，应用了结论，灵活性比较强，当然结论的使用首先需要证明，对于这类问题掌握通行通法最好． 类型三：由复杂函数在某点切线引出的放缩 【例4】（郑州市2018届二质检）已知函数． （I）求曲线在处的切线方程； （II）求证：当时，． 【解析】（Ⅰ）， 由题设得，， 曲线在处的切线方程为 （II），，∴在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增， 所以．过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方． 下证：当时，， 设，则， 在上单调递减，在上单调递增， 又，∴， 所以，存在，使得， 所以，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，∴，当且仅当时取等号， 故． 又，即，当时，等号成立． 【例5】已知函数． （1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，证明：． 【解析】（1）由，得恒成立， 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即，故的取值范围是； （2）有（1）知时，有， 所以． ＝ 1 \* GB3 ①要证，可证，只需证， 易证（证明略），所以； ＝ 2 \* GB3 ②要证，可证， 易证（证明略），由于，所以， 所以， 综上所述，当时，证明：． 【方法小结】对于例题4和例题5，有如下感悟：若第（1）小题是探求某点处的切线问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求切线本身与曲线的不等关系进行放缩，如例题4;若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点进行放缩，如例题5;此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩． 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质判断曲线与其切线的大小关系，通过切线对所证明不等式进行简化，进而转化为解决一个局部的不等式，已达到解决问题的目的． 三、巩固练习 1．已知函数若函数的最小值是，求的取值范围． 2．已知函数，（，为自然对数的底数），且的图象在点处的切线方程为． （1）求实数的值； （2）若，求证：． 3．已知函数． (1) 若，证明:函数是上的减函数； (2) 若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (3) 若，证明:(其中是自然对数的底数)． 4．已知函数． （1）求在上的最大值； （2）若直线为曲线的切线，求实数的值； （3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值． 5．（2018届安徽省太和中学三模）已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证：当时，． 6．（安徽省太和中学2018届5月质检）已知函数，曲线在处的切线