高中数学 导数专项 第13讲 嵌套函数.pdf

第13 讲 嵌套函数问题 一、问题综述 形如y f g x 的函数，俗称嵌套函数，此类函数的零点数量、零点范围、参数范围问题常见于各      类试题的压轴小题． 其解题思路一般分为两步：（Ⅰ）“换元”以“解套”：令t g x ，则y f t ，这     t g x ,①    样即可将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数 的零点问题进行处理；（Ⅱ） y f t ,②     依次解方程：令②中 ，先由方程 解出 的值，然后代入方程 继续解出 的值，即为函数 y 0 f t 0 t ① x   y f g x 的零点． 嵌套函数的零点问题可结合代数和几何两种角度，通过上述换元或者借助图象，      分一为二，逐层击破． 二、典例分析  2 x  2x  2 x„0 【例 1】函数 ，若实数 满足 ，则实数 的所有取值 f (x) a f f a 2 a  2    x x  0 的和为 ． 【解析】方法1：换元处理，由外及内 ìït f a ,① ï () 2 令t f a ,则 ，由f t t  2t 2 2 ，解得t 0,t 2，分别代入 有   íïf t 2,②   1 2 ① îï () a  0   2 ，此时无解； f a a  2a 2 0     a  0   2 ，此时无解； f a a 0     a  0   2 ，此时无解； f a a  2a 2 2     a  0   2 ，解得a 2 ． f a a 2    