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第14 讲 导数中的 “距离”问题
一、问题综述
导数中的 “距离”问题是指形如下面的问题：
若对任意的nÎR,m 0 ，不等式(n- m)2 + (n- ln m+ 1)2 ³ a恒成立，则实数 的取值范围是 ．
a
二、典例分析
类型1：一曲一直型
2 x a 2 4
【例 1】已知函数 ．若存在 ，使得f (x ) ，则实数 的值为 ．
f (x) (x + a) + (e + ) x0 0 2 a
e e + 1
解法1： （构造距离）
a
设 x ，则f (x) 的几何意义是| PQ| 的平方．
P(x, e ),Q(-a,- )
e
x
x
其中点 在曲线y e 上，点 在直线 上．
P Q l : y
e
设 ¢ 且与曲线y ex 相切，切点为A(m,em) ，
l / /l
1 1
又y¢ ex ，则em ，\m - 1, \ A(- 1, ) ，
e e
2 2 2 4
进而有f (x)min | PQ|min ( ) 2 ，
e2 + 1 e + 1
4 4 4
即f (x)
．欲使存在 ，使得f (x ) ，则f (x ) ．
x
e2 + 1 0 0 e2 + 1 0 e2 + 1
1 a
+
1 e e 1 e2 - 1
此时x0 - 1 ，k × - 1 ，即 × - 1，得a ．
AQ 2
e - 1+ a e e + 1
【方法小结】方法一将存在性问题转化为求函数的最小值问题，数形结合构造
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