高中数学 导数专项 第16讲 导数中的“整数解”问题.docx

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第16讲 导数中的“整数解”问题 一、问题综述 整数解问题是将传统的在实数范围内求解的恒成立问题,向整数范围作了一个简单的迁移,是传统问题在整数范围内的具体化,分析问题的思路和解题的方法与在实数范围内的讨论基本一致。 二、典例分析 类型一:一曲一直三次型 【例1】(广东佛山市第一中学.珠海市第一中学.金山中学2018-2019学年高二下学期期中)若存在唯一的正整数,使关于的不等式成立,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】设,则存在唯一的正整数,使得, 设,,, 当以及时,为增函数,当时,为减函数, 在处,取得极大值,在处,取得极大值. 而恒过定点, 两个函数的图像如下图所示: 要使得存在唯一的正整数,使得, 只要满足,即,解得, 故选B. 类型二:一曲一直型 【例2】(实战演练2018年高考步步高系列数学)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】令,则 使得的整数即是使得的整数 ,当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 且当时,, 作出函数和的图象如图所示 由图可知: 当时,使得的整数有很多个; 当时,要使得的整数唯一,则, 解得,则,故选D. 类型三:一曲一直型 【例3】(河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试数学(理))已知函数,若的解集为,且中恰有两个整数,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【解析】设,则, 当时,,当时,, 所以函数在为增函数,在为减函数, 的解集为等价于的解集为, 即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方, 函数的图象与直线的位置关系如图所示, 由图可知:,解得:,故选:D. 类型四:一曲一直型 【例4】(四川省内江.眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理))已知函数.若不等式的解集中整数的个数为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】, ,即, 设, 其中时,, 时,, 即符合要求, ,所以时,,单调递减, ,,单调递增,为极小值. 有三个整数解,则还有一个整数解为或者是, ①当解集包含时,时,, 所以需要满足即,解得, ②当解集包含时,需要满足,即, 整理得,而,所以无解集,即该情况不成立. 由①②得:的范围为,故选D. 类型五:一曲一直型 【例5】(河北省衡水市全国普通高中2019届高三四月大联考文数)若不等式有且仅有两个正整数解,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【解析】由题得,,∴不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解.记,∴函数的图象是过定点的直线.又记,∴,令,∴当时,,单调递增;当时,,单调递减,如图所示, 要使有且仅有两个正整数解,数形结合可知,只需满足, 即.故选A. 类型六:一曲一直型 【例6】(江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文数)设函数,其中,若仅存在两个正整数,使得,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】令 因为仅存在两个正整数,使得,即仅有两个整数使得 令解得, 且当,;当,, 所以, 且, 所以当时,,另一个满足条件的整数为, 所以 代入解得, 综上,的取值范围为, 所以选A. 类型七:双曲型 【例7】(广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题)已知关于x的不等式有且仅有两个正整数解(其中为自然对数的底数),则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】当时,由可得, 显然当时,不等式,在恒成立,不符合题意; 当时,令,则在上单调递增, 令,则, ∴在上单调递增, ∵,且有两个正整数解, ∴,即,解得,故选 D. 类型八:构造函数型 【例8】(湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学(理)试题)已知是函数的导函数,且对任意的实数都有是自然对数的底数),,若不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【解析】令,则, 可设, ∵,∴. ∴, ∴. 可得:时,函数取得极大值,时, 函数取得极小值. ,,,. ∴时,不等式的解集中恰有两个整数,. 故的取值范围是,故选C. 类型九:平移函数型 【例9】(山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试(一模)数学(文)试题)已知函数,则使不等式成立的的最小整数为( ) A. B. C. D. 【解析】根据题意,函数,其导数, 时,可以看成是为首项,为公比的等比数列, 则有, 函数在上为增函数, 又由,

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