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第16讲 导数中的“整数解”问题
一、问题综述
整数解问题是将传统的在实数范围内求解的恒成立问题,向整数范围作了一个简单的迁移,是传统问题在整数范围内的具体化,分析问题的思路和解题的方法与在实数范围内的讨论基本一致。
二、典例分析
类型一:一曲一直三次型
【例1】(广东佛山市第一中学.珠海市第一中学.金山中学2018-2019学年高二下学期期中)若存在唯一的正整数,使关于的不等式成立,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】设,则存在唯一的正整数,使得,
设,,,
当以及时,为增函数,当时,为减函数,
在处,取得极大值,在处,取得极大值.
而恒过定点,
两个函数的图像如下图所示:
要使得存在唯一的正整数,使得,
只要满足,即,解得,
故选B.
类型二:一曲一直型
【例2】(实战演练2018年高考步步高系列数学)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】令,则
使得的整数即是使得的整数
,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
且当时,,
作出函数和的图象如图所示
由图可知:
当时,使得的整数有很多个;
当时,要使得的整数唯一,则,
解得,则,故选D.
类型三:一曲一直型
【例3】(河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试数学(理))已知函数,若的解集为,且中恰有两个整数,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】设,则,
当时,,当时,,
所以函数在为增函数,在为减函数,
的解集为等价于的解集为,
即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方,
函数的图象与直线的位置关系如图所示,
由图可知:,解得:,故选:D.
类型四:一曲一直型
【例4】(四川省内江.眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理))已知函数.若不等式的解集中整数的个数为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】,
,即,
设,
其中时,,
时,,
即符合要求,
,所以时,,单调递减,
,,单调递增,为极小值.
有三个整数解,则还有一个整数解为或者是,
①当解集包含时,时,,
所以需要满足即,解得,
②当解集包含时,需要满足,即,
整理得,而,所以无解集,即该情况不成立.
由①②得:的范围为,故选D.
类型五:一曲一直型
【例5】(河北省衡水市全国普通高中2019届高三四月大联考文数)若不等式有且仅有两个正整数解,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】由题得,,∴不等式有且仅有两个正整数解等价于有且仅有两个正整数解.记,∴函数的图象是过定点的直线.又记,∴,令,∴当时,,单调递增;当时,,单调递减,如图所示,
要使有且仅有两个正整数解,数形结合可知,只需满足,
即.故选A.
类型六:一曲一直型
【例6】(江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文数)设函数,其中,若仅存在两个正整数,使得,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】令
因为仅存在两个正整数,使得,即仅有两个整数使得
令解得,
且当,;当,,
所以,
且,
所以当时,,另一个满足条件的整数为,
所以 代入解得,
综上,的取值范围为,
所以选A.
类型七:双曲型
【例7】(广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题)已知关于x的不等式有且仅有两个正整数解(其中为自然对数的底数),则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】当时,由可得,
显然当时,不等式,在恒成立,不符合题意;
当时,令,则在上单调递增,
令,则,
∴在上单调递增,
∵,且有两个正整数解,
∴,即,解得,故选 D.
类型八:构造函数型
【例8】(湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学(理)试题)已知是函数的导函数,且对任意的实数都有是自然对数的底数),,若不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】令,则,
可设,
∵,∴.
∴,
∴.
可得:时,函数取得极大值,时,
函数取得极小值.
,,,.
∴时,不等式的解集中恰有两个整数,.
故的取值范围是,故选C.
类型九:平移函数型
【例9】(山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试(一模)数学(文)试题)已知函数,则使不等式成立的的最小整数为( )
A. B. C. D.
【解析】根据题意,函数,其导数,
时,可以看成是为首项,为公比的等比数列,
则有,
函数在上为增函数,
又由,
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