高中数学 导数专项 第16讲 导数中的“整数解”问题.pdf

第16 讲 导数中的 “整数解”问题 一、问题综述 整数解问题是将传统的在实数范围内求解的恒成立问题，向整数范围作了一个简单的迁移，是传统问 题在整数范围内的具体化，分析问题的思路和解题的方法与在实数范围内的讨论基本一致。 二、典例分析 类型一：一曲一直三次型 【例 1】 （广东佛山市第一中学．珠海市第一中学．金山中学2018-2019学年高二下学期期中）若存在唯 x x 3 2 a 一的正整数 ，使关于 的不等式x 3x  ax  5  a 0 成立，则实数 的取值范围是 ( ) 0 1 1 5 1 3 5 3 A.(0, ) B.( , ] C.( , ] D.( , ] 3 3 4 3 2 4 2 3 2 x f (x )  0 【解析】设f (x) x 3x  ax  5  a ，则存在唯一的正整数 ，使得 ， 0 0 3 2 h(x) a(x 1)  2 设g(x) x 3x  5 ， ，g (x) 3x  6x ， 当x (,0) 以及(2, ) 时，g(x) 为增函数，当x (0,2) 时，g(x) 为减函数， x 0 g(x) 5 x 2 g(x) 在 处， 取得极大值 ，在 处， 取得极大值 . 1 而h(x) 恒过定点(1,0) ， 两个函数的图像如下图所示： x f (x )  0 要使得存在唯一的正整数 ，使得 ， 0 0 g(1)  h(1)  13  5  2a   1 5 只要满足g(2)  h(2) ，即 8 12  5  3a ，解得x ( , ] ，   3 4 g(3)  h(3) 27  27  5  4a 故选B. x 类型二：一曲一直 型 e x 【例2】 （实战演练2018年高考步步高系列数学）设函数f x e 2x－1