考点33 空间向量与立体几何-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.doc

1．空间向量及其运算 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2．空间向量的应用 （1）理解直线的方向向量与平面的法向量. （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 一、空间直角坐标系及有关概念 1．空间直角坐标系 定义 以空间一点为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，建立了一个空间直角坐标系 坐标原点 点O 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示. 2．空间一点M的坐标 （1）空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标. （2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M与有序实数组可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式 ①设点，为空间两点， 则两点间的距离. ②设点， 则点与坐标原点O之间的距离为. （2）中点公式 设点为，的中点，则. 4．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 单位向量 长度(或模)为1的向量 零向量 长度(或模)为0的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 二、空间向量的有关定理及运算 1.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. 牢记两个推论： （1）对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使或（其中）. （2）如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其中向量叫做直线l的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. 牢记推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有. 3.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3）不能作为基向量. 4.空间向量的运算 （1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量. （2）空间向量的坐标运算 设，则， ，， ， ， ， . 三、利用空间向量解决立体几何问题 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个. （2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，任意两个都是共线向量. 平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. 2.利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）线线平行：若，则； 线面平行：若，则； 面面平行：若，则. （2）线线垂直：若，则； 线面垂直：若，则； 面面垂直：若，则. 3.利用空间向量求空间角 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：； （3）平面所成的二面角为，则， 如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝． 如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 4.利用空间向量求距离 （1）两点间的距离 设点，为空间两点， 则两点间的距离. （2）点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为. 考向一 空间直角坐标系 对于空间几何问题，可以通过建立空间直角坐标系，把空间中的点用有序实数组(即坐标)表示出来